Aires : corrigé des exercices de maths 6ème

1 Compter des carreaux ★★★

On compte colonne par colonne en partant de la gauche : colonne 1 : 3 carreaux ; colonne 2 : 3 ; colonne 3 : 2 ; colonne 4 : 2 ; colonne 5 : 1. Total : 3 + 3 + 2 + 2 + 1 = 11 u.a.

2 Même aire, même périmètre ? ★★★

1. Figure A : 3 colonnes de 4 carreaux, soit 3 × 4 = 12 carreaux. Figure B : 2 rangées de 5 carreaux et 2 carreaux en plus, soit 10 + 2 = 12 carreaux.
2. Figure A : c’est un rectangle de 3 cm sur 4 cm, donc 2 × (3 + 4) = 14 cm. Figure B : son contour a la même longueur que le rectangle de 5 cm sur 3 cm qui l’entoure (le coin manquant ne change pas le périmètre) : 2 × (5 + 3) = 16 cm.
3. Les deux figures ont la même aire (12 cm²) mais pas le même périmètre (14 cm et 16 cm).

3 Compter avec des demi-carreaux ★★★

Le rectangle contient 4 × 3 = 12 carreaux. Le triangle est la moitié de ce rectangle (la diagonale le partage en deux triangles identiques) : 12 ÷ 2 = 6 u.a.

4 Premières conversions ★★★

a. 3 × 100 = 300 dm² ; b. 500 ÷ 100 = 5 dm² ; c. 7 × 100 = 700 cm² ; d. 2 500 ÷ 100 = 25 m² ; e. 4 × 100 = 400 mm². À chaque changement d’unité, on multiplie ou on divise par 100.

5 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. 1 m = 100 cm donc 1 m² = 100 × 100 cm² = 10 000 cm².
2. Faux. 5 × 5 = 25, l’aire est 25 cm² (et non 5 + 5).
3. Faux. Un rectangle de 9 cm sur 1 cm et un carré de 5 cm de côté ont tous deux un périmètre de 20 cm, mais des aires de 9 cm² et 25 cm².
4. Vrai. 6 × 2 = 12, donc 12 cm².

6 Aires de rectangles et de carrés ★★★

a. 8 × 5 = 40 cm² ; b. 12 × 7 = 84 m² ; c. 2,5 × 4 = 10 dm² ; d. 9 × 9 = 81 m².

7 Rectangle sur quadrillage ★★★

1. 4 rangées de 6 carreaux : on compte 24 carreaux.
2. 6 × 4 = 24. L’aire est 24 cm².

8 Chercher une dimension ★★★

a. 54 ÷ 6 = 9, car 9 × 6 = 54 : la longueur est 9 cm. b. On cherche un nombre qui multiplié par lui-même donne 49 : 7 × 7 = 49, le côté est 7 m. c. 72 ÷ 12 = 6, car 6 × 12 = 72 : la largeur est 6 dm.

9 Aires de triangles rectangles ★★★

On calcule la moitié du produit des deux côtés de l’angle droit. a. 6 × 8 = 48 puis 48 ÷ 2 = 24 cm² ; b. 5 × 3 = 15 puis 15 ÷ 2 = 7,5 m² ; c. 10 × 2,4 = 24 puis 24 ÷ 2 = 12 dm².

10 Une figure en L ★★★

Par soustraction. Le grand rectangle fait 9 × 6 = 54 m². Le coin manquant mesure 4 m sur 3 m, soit 12 m². Aire : 54 − 12 = 42 m².

Par découpage. On coupe en deux rectangles : à gauche, 5 m sur 6 m (car 9 − 4 = 5), soit 30 m² ; en bas à droite, 4 m sur 3 m (car 6 − 3 = 3), soit 12 m². Aire : 30 + 12 = 42 m². Les deux méthodes donnent le même résultat.

11 Conversions avec des décimaux ★★★

a. 3,5 × 100 = 350 dm² ; b. 0,45 × 100 = 45 cm² ; c. 12 ÷ 100 = 0,12 dm² ; d. de cm² à m², deux unités : 8 400 ÷ 10 000 = 0,84 m² ; e. 0,02 × 100 = 2 dm².

12 Ranger des aires ★★★

On convertit tout en dm². 0,6 m² = 60 dm². 5 000 cm² = 50 dm². Et 45 dm² reste 45 dm². Rangement : 45 dm² < 50 dm² < 60 dm², soit 45 dm² < 5 000 cm² < 0,6 m².

13 La pelouse du stade ★★★

1. 25 × 18 = 450. L’aire est 450 m².
2. 450 ÷ 1,5 = 300 (car 300 × 1,5 = 450). Il faut 300 rouleaux.

14 Carreler une salle ★★★

Méthode 1 (en cm). 4 m = 400 cm et 3 m = 300 cm. Dans la longueur : 400 ÷ 20 = 20 carreaux ; dans la largeur : 300 ÷ 20 = 15 carreaux. Total : 20 × 15 = 300.

Méthode 2 (avec les aires). Salle : 4 × 3 = 12 m² = 120 000 cm². Un carreau : 20 × 20 = 400 cm². 120 000 ÷ 400 = 300.

Il faut 300 carreaux.

15 Aire et périmètre ★★★

1. R1 : 2 × (8 + 3) = 22 cm. R2 : 2 × (6 + 4) = 20 cm.
2. R1 : 8 × 3 = 24 cm². R2 : 6 × 4 = 24 cm².
3. Les deux rectangles ont la même aire mais des périmètres différents : le plus « allongé » a le plus grand périmètre. Aucun des deux ne prend plus de place (surface) que l’autre.

16 Triangle sur quadrillage ★★★

1. Les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm (en bas) et 4 cm (à gauche).
2. 6 × 4 = 24 puis 24 ÷ 2 = 12 cm².
3. Le rectangle mesure 6 cm sur 4 cm : son aire est 24 cm², le double de celle du triangle.

17 La façade de la maison ★★★

Rectangle : 8 × 5 = 40 m².

Toit : chaque triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit 4 m (la moitié de 8 m) et 3 m. Son aire est (4 × 3) ÷ 2 = 6 m². Les deux triangles : 2 × 6 = 12 m².

Aire de la façade : 40 + 12 = 52 m².

18 Un chemin autour du potager ★★★

Le chemin ajoute 1 m de chaque côté : le grand rectangle (potager + chemin) mesure 10 + 2 = 12 m sur 6 + 2 = 8 m. Son aire est 12 × 8 = 96 m².

Le potager seul : 10 × 6 = 60 m².

Aire du chemin : 96 − 60 = 36 m².

(Attention : ce n’est pas 1 m de plus d’un seul côté !)

19 Encadrer l’aire d’un disque ★★★

1. Le dessin est identique dans les quatre quarts. Dans un quart : 8 carreaux bleus et 7 carreaux orange. Au total : 4 × 8 = 32 carreaux bleus ; 32 + 4 × 7 = 60 carreaux bleus et orange ensemble.
2. Chaque carreau vaut 1 cm² : 32 cm² < aire du disque < 60 cm².
3. 3 × 4 × 4 = 48 et 32 < 48 < 60 : la valeur 48 cm² est bien dans l’encadrement et donne une bonne idée de l’aire du disque.

20 Peindre un mur ★★★

1. Mur : 5 × 2,5 = 12,5 m². Porte : 2 × 0,9 = 1,8 m². Fenêtre : 1,2 × 1 = 1,2 m². Aire à peindre : 12,5 − 1,8 − 1,2 = 12,5 − 3 = 9,5 m².
2. 9,5 ÷ 4 = 2,375. Avec 2 pots on couvre seulement 8 m², ce qui ne suffit pas. Il faut acheter 3 pots.

21 Dimensions inconnues ★★★

Le demi-périmètre (longueur + largeur) vaut 30 ÷ 2 = 15 cm. Si la largeur est ℓ, la longueur est ℓ + 5, donc ℓ + ℓ + 5 = 15, d’où 2 × ℓ = 10 et ℓ = 5 cm. La longueur est 5 + 5 = 10 cm.

Vérification : 2 × (10 + 5) = 30 cm. Aire : 10 × 5 = 50 cm².

22 Un carré coupé en quatre ★★★

1. 12 × 12 = 144 cm².
2. Les quatre triangles sont identiques, donc l’aire de chacun est 144 ÷ 4 = 36 cm².
3. Deux triangles représentent 2 sur 4 du carré, soit 12 du carré : 2 × 36 = 72 cm² = 144 ÷ 2. C’est la moitié.