Suites numériques : corrigé du contrôle de maths 1ère

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Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice interdite.

Sommaire

u₀ = 0 ; u₁ = 2 − 5 = −3 ; u₂ = 8 − 10 = −2 ; u₃ = 18 − 15 = 3 (1,5 pt : 0,5 par terme non trivial, 0,5 pour u₀).
v₁ = 4 − 1 = 3 ; v₂ = 9 − 1 = 8 ; v₃ = 64 − 1 = 63 (1,5 pt : 0,5 par terme).

Barème : 3 points.

u₁₀ = u₄ + 6r donc −6 = 18 + 6r et r = −4 (1 pt). Alors u₀ = 18 + 16 = 34 et u_n = 34 − 4n (0,5 pt).
La raison −4 est négative : la suite est strictement décroissante (0,5 pt).
34 − 4n < 0 ⇔ n > 8,5. Le premier rang est n = 9 (u₉ = −2 et u₈ = 2) (1 pt).
u₂₀ = 34 − 80 = −46 ; 21 termes ; somme = 21 × 34+(−46)2 = 21 × (−6) = −126 (1 pt).

Barème : 4 points.

Une baisse de 6 % multiplie par 0,94 : P_n+1 = 0,94P_n. La suite est géométrique de raison 0,94, de premier terme 2 400 : P_n = 2 400 × 0,94ⁿ (1,5 pt).
Premier terme positif et raison entre 0 et 1 : strictement décroissante (0,5 pt).
P₅ = 2 400 × 0,94⁵ ≈ 1761 poissons (1 pt).

def rang():
    p = 2400
    n = 0
    while p >= 1200:
        p = 0.94 * p
        n = n + 1
    return n

Le programme renvoie 12 : P₁₁ ≈ 1215 ≥ 1 200 et P₁₂ ≈ 1142 < 1 200 (1 pt).

Barème : 4 points.

Raison 3, 8 termes : 1−3⁸1−3 = 1−6561−2 = 3 280 (1,5 pt).
7 termes, premier terme 5, raison −2 : 5 × 1−(−2)⁷1−(−2) = 5 × 1+1283 = 5 × 43 = 215. Vérification : 5 − 10 + 20 − 40 + 80 − 160 + 320 = 215 (1,5 pt).

Barème : 3 points.

u_n+1 = 3(n+1)n+3. u_n+1 − u_n = 3(n+1)(n+2)−3n(n+3)(n+2)(n+3) ; le numérateur vaut 3(n² + 3n + 2) − 3(n² + 3n) = 6 (1,5 pt). Il est strictement positif, comme le dénominateur : la suite est strictement croissante (0,5 pt).
w_n+1 − w_n = 2n − 6 (1 pt). Négative pour n ≤ 2, nulle pour n = 3, positive pour n ≥ 4 : la suite décroît puis croît, elle n’est pas monotone (0,5 pt). Les termes sont 0 ; −6 ; −10 ; −12 ; −12 ; −10 ; … : le plus petit vaut −12 (0,5 pt).

Barème : 4 points.

u : 3 → 7 → 15 → 31 → 63. f() renvoie 63 (1 pt).
Il calcule le terme u₄ de la suite définie par u₀ = 3 et u_n+1 = 2u_n + 1 (1 pt).

Barème : 2 points.