Le calcul littéral est la grammaire de l’algèbre : avec des lettres à la place des nombres, tu écris des règles valables pour une infinité de cas, tu transformes une expression pour la rendre plus simple, et tu résous des équations qui modélisent des situations concrètes. En 2de, tu consolides tes acquis de collège (distributivité, identités remarquables) et tu les mets au service de la factorisation, des équations produit et des équations avec des fractions, en apprenant à surveiller les valeurs interdites.
1. Rappels : expressions et distributivité
Une expression littérale contient des lettres (variables) qui représentent des nombres réels. Pour la réduire, on regroupe les termes de même nature : 4x + 3x = 7x, mais 4x + 3x² ne se réduit pas. Pour l’ordonner, on range les termes par puissances décroissantes de x.
Pour tous réels k, a, b, c, d :
- k(a + b) = ka + kb (simple distributivité) ;
- (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (double distributivité).
(2x − 5)(3x + 4) = 2x × 3x + 2x × 4 − 5 × 3x − 5 × 4 = 6x² + 8x − 15x − 20 = 6x² − 7x − 20.
Quand un signe « − » précède une parenthèse, il change tous les signes à l’intérieur : 7 − (x − 3) = 7 − x + 3 = 10 − x. Pense aussi à mettre des parenthèses autour d’un facteur négatif : (−2x)² = 4x², alors que −2x² est l’opposé de 2x².
2. Les identités remarquables
Pour tous réels a et b :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b²
Démonstration. On développe : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². De même (a − b)(a − b) = a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b². Enfin (a + b)(a − b) = a² − ab + ba − b² = a² − b².
Le schéma ci-dessus donne l’idée géométrique de la première identité : l’aire du grand carré de côté a + b est la somme de l’aire d’un carré a², de deux rectangles ab et d’un carré b².
- (x + 8)² = x² + 2 × x × 8 + 8² = x² + 16x + 64.
- (5x − 2)² = (5x)² − 2 × 5x × 2 + 2² = 25x² − 20x + 4.
- (3x + 7)(3x − 7) = (3x)² − 7² = 9x² − 49.
Les identités servent aussi avec des nombres : 103² = (100 + 3)² = 10 000 + 600 + 9 = 10 609 et 48 × 52 = (50 − 2)(50 + 2) = 2 500 − 4 = 2 496.
(a + b)² n’est pas égal à a² + b². Il manque le double produit 2ab. Test : pour a = 1 et b = 2, (1 + 2)² = 9 alors que 1² + 2² = 5.
3. Factoriser une expression
Factoriser une somme, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs. C’est l’opération inverse du développement : ka + kb = k(a + b).
- Cherche un facteur commun à tous les termes (un nombre, une lettre, ou une parenthèse entière).
- Sinon, regarde si l’expression est une différence de deux carrés a² − b².
- Sinon, regarde si c’est un carré parfait : a² ± 2ab + b² (deux carrés et un double produit).
- Vérifie en redéveloppant.
- Facteur commun numérique et littéral : 12x² + 18x = 6x × 2x + 6x × 3 = 6x(2x + 3).
- Facteur commun qui est une parenthèse : (x − 2)(3x + 1) + (x − 2)(x + 5) = (x − 2)[(3x + 1) + (x + 5)] = (x − 2)(4x + 6) = 2(x − 2)(2x + 3).
- Différence de deux carrés : 16x² − 25 = (4x)² − 5² = (4x − 5)(4x + 5).
- Carré parfait : x² + 14x + 49 = x² + 2 × x × 7 + 7² = (x + 7)².
- Carré dans une différence de carrés : (x + 3)² − 16 = [(x + 3) − 4][(x + 3) + 4] = (x − 1)(x + 7).
Quand tu factorises par une parenthèse contenant un signe « − », écris bien la soustraction : (x − 1)(x + 2) − (x − 1)(x − 4) = (x − 1)[(x + 2) − (x − 4)] = (x − 1) × 6. Le crochet contient 2 − (−4) = 6 : on n’oublie pas de changer les signes de la seconde parenthèse.
4. Quelle forme choisir ?
Une même expression peut s’écrire sous plusieurs formes, et chacune a son utilité. Considérons E = (x + 3)² − 16 :
| Forme | Écriture | Utile pour |
|---|---|---|
| Initiale | (x + 3)² − 16 | repérer une différence de carrés |
| Développée | x² + 6x − 7 | calculer E pour x = 0 : on lit −7 |
| Factorisée | (x − 1)(x + 7) | résoudre E = 0 : on lit 1 et −7 |
- Pour calculer une valeur ou comparer à une constante : la forme développée est souvent la plus simple.
- Pour résoudre « expression = 0 » ou étudier un signe : la forme factorisée.
- Pour prouver que deux expressions sont égales : développe les deux, ou transforme l’une jusqu’à obtenir l’autre.
Le programme ci-dessus donne (x + 3)² − 9. Développé : x² + 6x + 9 − 9 = x² + 6x. Factorisé : x(x + 6). Le résultat est nul pour x = 0 ou x = −6 : la forme factorisée le montre immédiatement.
5. Équations du 1er degré et équations produit
Résoudre une équation d’inconnue x, c’est trouver tous les réels qui rendent l’égalité vraie. L’ensemble de ces solutions se note 𝒮. Il peut être vide, contenir un ou plusieurs nombres, voire être infini.
- Développe et réduis chaque membre.
- Regroupe les termes en x d’un côté, les nombres de l’autre (on ajoute ou retranche la même quantité aux deux membres).
- Divise par le coefficient de x (non nul).
- Vérifie en remplaçant dans l’équation de départ.
4(x − 2) = 7x + 10 ⇔ 4x − 8 = 7x + 10 ⇔ −3x = 18 ⇔ x = −6. Vérification : 4 × (−8) = −32 et 7 × (−6) + 10 = −32. 𝒮 = {−6}.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0.
- Passe tout dans un membre pour obtenir « … = 0 ».
- Factorise ce membre.
- Applique la propriété du produit nul : chaque facteur égalé à 0 donne une équation du 1er degré.
- Écris l’ensemble des solutions.
- (2x − 6)(x + 5) = 0 ⇔ 2x − 6 = 0 ou x + 5 = 0 ⇔ x = 3 ou x = −5. 𝒮 = {−5 ; 3}.
- 3x² − 12x = 0 ⇔ 3x(x − 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 4. 𝒮 = {0 ; 4}.
Dans 3x² − 12x = 0, on ne divise pas par x : on perdrait la solution 0. On factorise et on utilise le produit nul. Pour la même raison, (x + 1)(x − 2) = 5 ne permet pas de dire « x + 1 = 5 ou x − 2 = 5 » : la propriété ne marche que si le second membre est 0 !
6. Équations qui se ramènent au produit nul
- si k > 0 : deux solutions, √k et −√k ;
- si k = 0 : une seule solution, 0 ;
- si k < 0 : aucune solution, car un carré n’est jamais négatif.
Justification pour k > 0 : x² = k ⇔ x² − (√k)² = 0 ⇔ (x − √k)(x + √k) = 0.
- Un facteur commun apparent ou à faire apparaître : (x + 2)(3x − 1) = (x + 2)(x + 7) devient (x + 2)[(3x − 1) − (x + 7)] = 0, soit (x + 2)(2x − 8) = 0.
- Une différence de carrés : (2x − 3)² = (x + 6)² ⇔ [(2x − 3) − (x + 6)][(2x − 3) + (x + 6)] = 0 ⇔ (x − 9)(3x + 3) = 0 ⇔ x = 9 ou x = −1.
- Un carré parfait : x² − 10x + 25 = 0 ⇔ (x − 5)² = 0 ⇔ x = 5 (solution double).
(x − 4)² = 49 ⇔ x − 4 = 7 ou x − 4 = −7 ⇔ x = 11 ou x = −3. 𝒮 = {−3 ; 11}.
7. Fractions algébriques et valeurs interdites
Une fraction dont le dénominateur contient x n’existe que si ce dénominateur est différent de 0. Les valeurs de x qui l’annulent sont les valeurs interdites. On les cherche toujours avant de calculer.
- 52x−8 : 2x − 8 = 0 ⇔ x = 4. Valeur interdite : 4.
- 1x²−9 : x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0 ⇔ x = 3 ou x = −3. Deux valeurs interdites.
Pour b ≠ 0, d ≠ 0 et k ≠ 0 :
- Simplifier : kakb = ab.
- Additionner : ab + cd = ad+cbbd.
- Produit nul : ab = 0 ⇔ a = 0 (avec b ≠ 0).
- Produit en croix : ab = cd ⇔ ad = bc.
- Factorise le numérateur et le dénominateur.
- Détermine les valeurs interdites sur la forme de départ.
- Simplifie les facteurs communs.
x²−25x²+10x+25 = (x−5)(x+5)(x+5)² = x−5x+5, pour x ≠ −5.
Pour x ≠ 0 et x ≠ −1 : 1x + 2x+1 = (x+1)+2xx(x+1) = 3x+1x(x+1).
On ne simplifie que des facteurs, jamais des termes d’une somme : x+33 n’est pas égal à x. De plus, une valeur interdite reste interdite même après simplification : x²−4x−2 = x + 2 seulement pour x ≠ 2.
8. Équations avec des fractions (équations quotient)
- Cherche les valeurs interdites (dénominateurs nuls).
- Mets tout dans un membre sur un même dénominateur, ou utilise le produit en croix.
- Un quotient est nul seulement si son numérateur est nul : résous l’équation obtenue.
- Élimine les solutions interdites et conclus.
2x+5x−1 = 3. Valeur interdite : 1. Pour x ≠ 1 : 2x + 5 = 3(x − 1) ⇔ 2x + 5 = 3x − 3 ⇔ x = 8. Comme 8 ≠ 1, 𝒮 = {8}.
x²−1x+1 = 0. Valeur interdite : −1. L’équation revient à x² − 1 = 0, soit (x − 1)(x + 1) = 0, donc x = 1 ou x = −1. Mais −1 est interdite : 𝒮 = {1}.
3x + 1x−2 = 10x(x−2). Valeurs interdites : 0 et 2. On multiplie par x(x − 2) : 3(x − 2) + x = 10 ⇔ 4x = 16 ⇔ x = 4. Cette valeur est autorisée : 𝒮 = {4}.
9. Résoudre un problème avec une équation
- Choisir l’inconnue : « Soit x la largeur, en mètres. »
- Traduire l’énoncé en expressions de x (un schéma aide).
- Mettre en équation.
- Résoudre.
- Vérifier que la solution a un sens (longueur positive, nombre entier si l’on compte des personnes…) et rédiger une phrase réponse.
Un rectangle a une longueur de 5 m de plus que sa largeur x et un périmètre de 38 m. Équation : 2(x + x + 5) = 38 ⇔ 4x + 10 = 38 ⇔ x = 7. La largeur est 7 m et la longueur 12 m (7 + 12 = 19 et 2 × 19 = 38).
Avant de te lancer dans les calculs, lis l’énoncé deux fois et fais un petit schéma. Une bonne mise en équation vaut la moitié du problème !
À retenir
- Distributivité : k(a + b) = ka + kb et (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
- Identités : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
- Factoriser : facteur commun, puis différence de carrés, puis carré parfait ; vérifier en développant.
- Développée pour calculer, factorisée pour résoudre « = 0 ».
- A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0 (second membre obligatoirement nul).
- x² = k : deux solutions si k > 0, une si k = 0, aucune si k < 0.
- Valeur interdite : valeur qui annule un dénominateur ; on la cherche avant tout calcul et on rejette toute solution qui l’est.
- Quotient nul : numérateur nul et dénominateur non nul. Produit en croix : ab = cd ⇔ ad = bc.
- Problème : inconnue, mise en équation, résolution, vérification, phrase réponse.