Corrigé détaillé des exercices du chapitre. Vérifie tes réponses étape par étape et corrige-toi.
1 Une formule de périmètre ★★★
a. P = 2 × (7,5 + 4) = 2 × 11,5 = 23 cm.
b. P = 2 × (12 + 3,5) = 2 × 15,5 = 31 cm.
2 Traduire des phrases ★★★
a. 2x + 5.
b. « 7 de moins que le triple de x » : 3x − 7.
c. x² − 1.
d. Le quart se note ÷ 4 : x+84, ou (x + 8) ÷ 4. La parenthèse est indispensable car on divise toute la somme.
3 Simplifier l’écriture ★★★
a. 5a ; b. 4y (le nombre se place devant) ; c. 3x² ; d. b ; e. a³ ; f. 6ab ; g. 2(x + 1).
4 Calculer une valeur ★★★
Pour x = 5 : A = 3 × 5 + 4 = 15 + 4 = 19.
Pour x = 0 : A = 3 × 0 + 4 = 4.
Pour x = 2,5 : A = 3 × 2,5 + 4 = 7,5 + 4 = 11,5.
5 Réduire des sommes ★★★
a. 11x ; b. 6a ; c. 6y (y vaut 1y) ; d. 0 ; e. 3x + 4x = 7x et 2 + 5 = 7, donc 7x + 7 ; f. 6t − t = 5t et −2 + 9 = 7, donc 5t + 7.
6 Vrai ou faux ? ★★★
a. Faux. Pour x = 2 : 6 + 8 = 14 et 7 × 4 = 28.
b. Faux. Pour x = 2 : 4 + 3 = 7 et 5 × 2 = 10.
c. Vrai : x + x = 1x + 1x = 2x.
d. Faux. Pour x = 3 : 3 × 3 = 9 et 2 × 3 = 6.
7 Parenthèses à supprimer ★★★
a. 5 + 3x − 2 = 3x + 3.
b. Devant la parenthèse il y a un moins : 8x − 2x − 5 = 6x − 5.
c. 4 − x + 6 = 10 − x.
d. 7a + 1 + 2a − 9 = 9a − 8.
8 Billets de cinéma ★★★
a. Prix total : 8n + 4 (en euros).
b. Pour n = 3 : 8 × 3 + 4 = 24 + 4 = 28. On paie 28 €.
c. Pour n = 5 : 8 × 5 + 4 = 44, c’est trop peu. Pour n = 6 : 8 × 6 + 4 = 52. Le groupe a acheté 6 billets.
9 Périmètre d’un rectangle ★★★
a. P = 2 × (x + 3) + 2 × 5 = 2x + 6 + 10 = 2x + 16 (en cm).
b. Pour x = 4 : P = 2 × 4 + 16 = 24. Le périmètre est de 24 cm. On vérifie : les côtés mesurent 7 cm et 5 cm, donc 2 × (7 + 5) = 24.
10 Avec des nombres négatifs ★★★
a. A = 2 × (−2)² − 3 × (−2) + 1 = 2 × 4 + 6 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15.
b. A = 2 × 3² − 3 × 3 + 1 = 18 − 9 + 1 = 10.
c. B = 5 − 4 × (−1,5) = 5 + 6 = 11.
d. C = (−3)² − (−3) = 9 + 3 = 12.
11 Produits et sommes à réduire ★★★
a. 12x. b. 2 × 5 = 10 et x × x = x², donc 10x². c. (−3) × 2 = −6, donc −6a².
d. 5x² − 3x² = 2x² et 2x + 7x = 9x, donc 2x² + 9x.
e. 4a + 3a = 7a ; −2b + 5b = 3b ; il reste −1. Résultat : 7a + 3b − 1.
12 Développer ★★★
a. 3x + 15. b. 4 × 2a = 8a et 4 × (−7) = −28 : 8a − 28.
c. −2x − 12. d. −5 × 3 = −15 et −5 × (−y) = +5y : −15 + 5y.
e. x² + 4x.
13 Développer puis réduire ★★★
a. 2x + 6 + 5x = 7x + 6.
b. 12x − 4 − 2x = 10x − 4.
c. 5 − 3x + 6 = 11 − 3x (car −3 × (−2) = +6).
d. 6x + 3 − 2x + 8 = 4x + 11.
14 Double distributivité ★★★
a. x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10.
b. a² − 4a + 3a − 12 = a² − a − 12.
c. 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3.
d. y² − 6y − 2y + 12 = y² − 8y + 12 (car (−2) × (−6) = +12).
15 Un test suffit-il ? ★★★
a. Pour x = 0 : 3 × 2 = 6 et 3 × 0 + 2 = 2. Les valeurs sont différentes, donc x = 0 est un contre-exemple : l’égalité de Karim est fausse (en développant : 3(x + 2) = 3x + 6).
b. Un seul test ne prouve rien. Mais en développant : 2(x + 4) = 2 × x + 2 × 4 = 2x + 8. L’égalité de Léo est donc vraie pour tout x.
16 Prouver une égalité ★★★
On développe le premier membre : (x + 1)(x + 4) = x² + 4x + x + 4 = x² + 5x + 4. On retrouve le second membre, donc l’égalité est vraie pour tout x.
Vérification pour x = 3 : (3 + 1)(3 + 4) = 4 × 7 = 28 et 9 + 15 + 4 = 28. ✓
17 Solutions d’équations ★★★
a. Pour x = 4 : 3 × 4 + 5 = 17, égal à 17 : 4 est solution. Pour x = 5 : 3 × 5 + 5 = 20 ≠ 17 : 5 n’est pas solution.
b. Pour x = −2 : 2 × (−2)² − (−2) = 8 + 2 = 10 : solution. Pour x = 2,5 : 2 × 6,25 − 2,5 = 12,5 − 2,5 = 10 : solution aussi. Pour x = 3 : 2 × 9 − 3 = 15 ≠ 10 : pas solution. Une équation peut avoir plusieurs solutions.
18 Terrain et bassin ★★★
a. Aire du terrain = (x + 6)(x + 3) = x² + 3x + 6x + 18 = x² + 9x + 18 (en m²).
b. Aire du bassin = 4 × x = 4x. Aire restante = x² + 9x + 18 − 4x = x² + 5x + 18 (en m²).
c. Pour x = 5 : 25 + 25 + 18 = 68. Il reste 68 m². Vérification : terrain 11 × 8 = 88 m², bassin 5 × 4 = 20 m², et 88 − 20 = 68. ✓
19 Programme de calcul ★★★
a. A : 5 + 3 = 8 ; 8 × 4 = 32 ; 32 − 8 = 24. B : 5 × 4 = 20 ; 20 + 4 = 24. Les deux donnent 24.
b. A = 4(x + 3) − 8 = 4x + 12 − 8 = 4x + 4.
c. Le programme B donne 4x + 4 : c’est la même expression. Les deux programmes donnent toujours le même résultat.
d. On cherche x tel que 4x + 4 = 40. Test x = 9 : 36 + 4 = 40. On avait choisi 9.
20 Réduction soignée ★★★
On supprime les parenthèses (attention au signe moins) et on développe : A = 3x² − 2x + 5 − x² + 4x − 1 + 2x − 6.
Termes en x² : 3 − 1 = 2. Termes en x : −2 + 4 + 2 = 4. Nombres : 5 − 1 − 6 = −2.
Donc A = 2x² + 4x − 2.
21 Double distributivité avancée ★★★
a. 6x² + 15x − 4x − 10 = 6x² + 11x − 10.
b. x × 2 = 2x ; x × (−x) = −x² ; (−4) × 2 = −8 ; (−4) × (−x) = +4x. Total : −x² + 6x − 8.
c. 2a² − 6ab + ab − 3b² = 2a² − 5ab − 3b².
22 Repérer les erreurs ★★★
(1) Le 2 n’a pas multiplié le 3. Correct : 2(x + 3) = 2x + 6. Pour x = 1 : 8 et 8, alors que 2x + 3 = 5.
(2) Il manque deux produits. Correct : x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. Pour x = 1 : 3 × 4 = 12 et 1 + 5 + 6 = 12.
(3) Le signe moins change tous les signes : −(x − 4) = −x + 4. Pour x = 1 : −(−3) = 3 et −1 + 4 = 3.