Corrigé des exercices de maths 5ème : Opérations

1 Vocabulaire des opérations ★★★

1. Le produit est 72 ; ses facteurs sont 8 et 9.
2. La somme est 42 ; ses termes sont 25 et 17.
3. On regarde la dernière opération. 3 + 4 × 5 : on calcule 4 × 5 puis on ajoute, c’est une somme. (3 + 4) × 5 : on calcule la parenthèse puis on multiplie, c’est un produit. 2 × 6 + 1 est une somme. 8 × (10 − 4) est un produit.

2 Priorités opératoires ★★★

1. A = 14 − 12 = 2 (la multiplication d’abord).
2. B = 30 + 14 = 44.
3. C = 9 + 8 = 17.
4. D = 38 − 8 = 30 (de gauche à droite).
5. E = 8 × 2 = 16 (de gauche à droite, pas 48 ÷ 12).
6. F = 7 + 3 × 5 = 7 + 15 = 22 (parenthèse, puis multiplication, puis addition).

3 Placer des parenthèses ★★★

1. (4 + 5) × 3 = 9 × 3 = 27.
2. (20 − 8) ÷ 4 = 12 ÷ 4 = 3.
3. 2 × (6 + 3) = 2 × 9 = 18.

Sans parenthèses, les résultats auraient été 19, 18 et 15 : on voit l’effet des priorités.

4 Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000 ★★★

1. 47
2. 35
3. 6 200
4. 8,3
5. 0,09
6. 0,0005

On décale la virgule vers la droite pour multiplier, vers la gauche pour diviser, en ajoutant des zéros si nécessaire.

5 Multiples ★★★

1. 7, 14, 21, 28 et 35 : 7, 14, 21, 28, 35.
2. 9 × 11 = 99 (trop petit) et 9 × 12 = 108. La réponse est 108.
3. 8 × 18 = 144 et 8 × 19 = 152 (trop grand). La réponse est 144.

6 Division euclidienne ★★★

1. 12 × 13 = 156 et 157 − 156 = 1. L’égalité est 157 = 12 × 13 + 1 : le quotient est 13 et le reste est 1 (1 < 12).
2. Non : le reste n’est pas nul, donc 157 n’est pas un multiple de 12.

7 Critères de divisibilité ★★★

On utilise les critères (somme des chiffres : 240 → 6 ; 315 → 9 ; 462 → 12 ; 1 305 → 9 ; 7 128 → 18).

8 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : 17 × 5 = 85.
2. Faux : 40 est divisible par 5 et se termine par 0.
3. Vrai : si la somme des chiffres est un multiple de 9, c’est aussi un multiple de 3.
4. Faux : 9 est impair et 9 = 3 × 3, il n’est pas premier.
5. Vrai : 2 n’a que deux diviseurs, 1 et 2.

9 Au rayon papeterie ★★★

1. Rendu = 20 − (3 × 2,40 + 2 × 1,15) = 20 − (7,20 + 2,30) = 20 − 9,50 = 10,50 €.
2. La dépense est 3 × 2,40 + 2 × 1,15 = 9,50 €. Léa récupère 10,50 €.

10 Priorités et parenthèses imbriquées ★★★

1. G = 12 ÷ 4 + 6 = 3 + 6 = 9.
2. H = 40 − 8 × 4 = 40 − 32 = 8.
3. I : dans la parenthèse, 3 × 4 = 12 puis 15 − 12 = 3 ; I = 2 × 3 + 9 = 6 + 9 = 15.
4. J : parenthèse 4 + 2 × 5 = 4 + 10 = 14 ; J = 100 − 3 × 14 = 100 − 42 = 58.
5. K = 6 + 18 ÷ 3 × 2 = 6 + 6 × 2 = 6 + 12 = 18.

11 Traduire un problème par une expression ★★★

1. 4 × 4,50 − 5.
2. 4 × 4,50 = 18, puis 18 − 5 = 13 €.
3. La dernière opération est la soustraction : c’est une différence.

12 Développer pour calculer ★★★

1. 15 × 23 = 345. Avec la distributivité : 15 × 20 + 15 × 3 = 300 + 45 = 345.
2. 12 × 28 = 336. Avec la distributivité : 12 × 30 − 12 × 2 = 360 − 24 = 336.

13 Calcul malin ★★★

1. 99 × 16 = (100 − 1) × 16 = 1 600 − 16 = 1 584.
2. 25 × 104 = 25 × (100 + 4) = 2 500 + 100 = 2 600.
3. 7 × 198 = 7 × (200 − 2) = 1 400 − 14 = 1 386.
4. 101 × 35 = (100 + 1) × 35 = 3 500 + 35 = 3 535.

14 Factoriser pour calculer ★★★

1. 8 × (17 + 13) = 8 × 30 = 240.
2. 6,3 × (4 + 6) = 6,3 × 10 = 63.
3. 45 × (12 − 2) = 45 × 10 = 450.
4. 37 × 9 + 37 × 1 = 37 × (9 + 1) = 37 × 10 = 370.

15 Aire d’un rectangle de deux façons ★★★

Façon 1 (rectangle entier) : la hauteur totale est 4 + 6 = 10 cm, donc 12 × (4 + 6) = 12 × 10 = 120 cm².

Façon 2 (deux bandes) : 12 × 4 + 12 × 6 = 48 + 72 = 120 cm².

On trouve le même résultat : c’est la distributivité 12 × (4 + 6) = 12 × 4 + 12 × 6.

16 Multiples communs et rendez-vous ★★★

1. Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48. Multiples de 8 : 8, 16, 24, 32, 40, 48.
2. Les nombres communs aux deux listes sont 24 et 48. Le plus petit est 24 : ils se retrouvent à 8 h 24.
3. Oui : 48 est aussi commun aux deux listes, donc à 8 h 48.

17 Diviseurs de 36 et de 48 ★★★

1. 36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 4 × 9 = 6 × 6. Diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
2. 48 = 1 × 48 = 2 × 24 = 3 × 16 = 4 × 12 = 6 × 8 (et 5 ne convient pas). Diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
3. Communs aux deux listes : 1, 2, 3, 4, 6, 12.

18 Composer des bouquets ★★★

1. Le nombre de bouquets doit diviser 30 et 42. Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Diviseurs communs : 1, 2, 3 ou 6 bouquets.
2. Le maximum est 6 bouquets. Chacun contient 30 ÷ 6 = 5 roses et 42 ÷ 6 = 7 tulipes.

19 Chiffre manquant ★★★

5 + 2 = 7, donc la somme des chiffres est 7 + ★.

1. Il faut que 7 + ★ soit un multiple de 3 : 9, 12 ou 15 (18 est trop grand car ★ ≤ 9). Donc ★ = 2, 5 ou 8 : les nombres 522, 552, 582.
2. Il faut 7 + ★ multiple de 9 : 9 seulement (18 est trop grand). Donc ★ = 2 : 522.
3. Le nombre se termine par 2, donc il est pair. Il est divisible par 6 s’il l’est aussi par 3 : ★ = 2, 5 ou 8.

20 Division par un décimal ★★★

1. On multiplie par 100 : 840 ÷ 35 = 24 (35 × 24 = 840).
2. On multiplie par 100 : 570 ÷ 15 = 38 (15 × 38 = 570).
3. On multiplie par 10 : 12,6 ÷ 6 = 2,1.
4. On multiplie par 100 : 14,4 ÷ 12 = 1,2.

21 Problèmes de partage avec des décimaux ★★★

1. 7,2 ÷ 0,6 = 72 ÷ 6 = 12. On remplit 12 bouteilles.
2. 5,25 ÷ 0,75 = 525 ÷ 75 = 7 (75 × 7 = 525). Elle obtient 7 morceaux.
3. 13,5 ÷ 0,45 = 1 350 ÷ 45 = 30 (45 × 30 = 1 350). Il prépare 30 paquets.

22 Quotients égaux ★★★

On ne change pas un quotient en multipliant le dividende et le diviseur par un même nombre.

1. 36 ÷ 1,5 : on a multiplié par 10 les deux nombres. Oui.
2. 360 ÷ 15 : multiplication par 100 des deux nombres. Oui.
3. 0,36 ÷ 1,5 : on a divisé 3,6 par 10 mais multiplié 0,15 par 10. Non.
4. 72 ÷ 3 : 3,6 × 20 = 72 et 0,15 × 20 = 3. Oui.
5. 3,6 ÷ 15 : seul le diviseur a été multiplié par 100. Non.

Valeur commune : 360 ÷ 15 = 24.

23 Nombre premier ou non ? ★★★

• 87 : 8 + 7 = 15, multiple de 3, donc 87 = 3 × 29. Pas premier.
• 89 : pas divisible par 2, ni par 3 (8 + 9 = 17), ni par 5, ni par 7 (7 × 12 = 84, 7 × 13 = 91). Avec 11, le quotient (8) est plus petit que 11 : on s’arrête. 89 est premier.
• 91 = 7 × 13. Pas premier.
• 97 : pas divisible par 2, 3 (9 + 7 = 16), 5 ; 7 × 13 = 91 et 7 × 14 = 98, donc non ; avec 11, le quotient (8) est plus petit que 11. 97 est premier.
• 119 = 7 × 17. Pas premier.

24 Dérouler un algorithme ★★★

1. d = 1 : reste 0, on affiche 1 et 30. d = 2 : 2 et 15. d = 3 : 3 et 10. d = 4 : 30 = 4 × 7 + 2, reste 2, rien. d = 5 : 5 et 6. d = 6 : 30 = 6 × 5, on affiche 6 et 5 (déjà trouvés).
2. Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
3. d = 1 : 1 et 45. d = 2 : reste 1. d = 3 : 3 et 15. d = 4 : reste 1. d = 5 : 5 et 9. d = 6 : reste 3. Diviseurs de 45 : 1, 3, 5, 9, 15, 45.
4. Parce que 7 × 7 = 49 est plus grand que 45 : si d est un diviseur supérieur à 6, son partenaire N ÷ d est inférieur à 7, donc il a déjà été trouvé.

25 Devinette ★★★

Un nombre divisible par 3 et par 5 est un multiple de 15 (ce sont les critères 3 et 5 réunis). Les multiples de 15 entre 70 et 100 sont 75 et 90. 90 est pair, donc je suis 75.

Pour 9 : 7 + 5 = 12 n’est pas un multiple de 9, donc non, 75 n’est pas divisible par 9.

26 Le carrelage ★★★

1. Diviseurs de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Diviseurs de 105 : 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.
2. Le côté doit diviser 60 et 105. Diviseurs communs : 1, 3, 5, 15. Le plus grand est 15 cm.
3. 60 ÷ 15 = 4 carreaux en hauteur et 105 ÷ 15 = 7 carreaux en largeur : 4 × 7 = 28 carreaux.