Puissances : corrigé des exercices de maths 5ème

1 Écrire sous forme de puissance ★★★

On compte le nombre de facteurs : c’est l’exposant.

1. 3 facteurs égaux à 5 : 5³.
2. 2 facteurs : 9².
3. 4 facteurs : 0,4⁴.
4. 7 facteurs : 2⁷.
5. 4 facteurs : 7⁴.

2 Du produit à la valeur ★★★

1. 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 9 × 9 = 81.
2. 6³ = 6 × 6 × 6 = 36 × 6 = 216.
3. 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
4. 11² = 11 × 11 = 121.
5. 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25.
6. 10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000.

3 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 (et non 2 × 3 = 6).
2. Vrai : 5 × 5 = 25.
3. Faux : 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 (et non 3 × 4 = 12).
4. Vrai : 10 × 10 × 10 = 1 000.
5. Faux : 4² = 4 × 4 = 16 (et non 4 × 2 = 8).
6. Vrai : un produit de facteurs tous égaux à 1 vaut 1.

4 Les carrés à connaître ★★★

1. 8² = 8 × 8 = 64.
2. 12² = 144.
3. 9² = 81.
4. 15² = 15 × 15 = 225.
5. 20² = 20 × 20 = 400.
6. 7² = 49, donc le nombre cherché est 7.
7. 11² = 121, donc le nombre cherché est 11.

5 Les cubes ★★★

1. 1³ = 1.
2. 2³ = 8.
3. 3³ = 27.
4. 4³ = 64.
5. 5³ = 125.
6. 10³ = 1 000.

Pour le cube : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216 ; 7³ = 7 × 7 × 7 = 343 ; 9³ = 9 × 9 × 9 = 729. Les nombres cherchés sont donc 6, 7 et 9.

6 Aires et volumes ★★★

1. Aire = 7² = 7 × 7 = 49 cm².
2. Aire = 2,5² = 2,5 × 2,5 = 6,25 m².
3. Volume = 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 cm³.
4. Volume = 3³ = 27 dm³.

Attention aux unités : cm², m² pour les aires ; cm³, dm³ pour les volumes.

7 Puissances de 10 ★★★

1. 10² = 100.
2. 10⁵ = 100 000 (cinq zéros).
3. 10⁷ = 10 000 000 (sept zéros).
4. 10¹ = 10.

1. 1 000 000 a six zéros : 10⁶.
2. 100 = 10².
3. 10 000 = 10⁴.
4. 10 = 10¹.

8 Priorités avec des puissances ★★★

1. 3 + 2⁴ = 3 + 16 = 19.
2. 5 × 3² = 5 × 9 = 45.
3. (5 × 3)² = 15² = 225.
4. 2³ + 3² = 8 + 9 = 17.
5. 20 − 2³ = 20 − 8 = 12.
6. 4 × (1 + 2²) = 4 × (1 + 4) = 4 × 5 = 20.

On remarque que les questions b. et c. donnent des résultats très différents : les parenthèses changent tout.

9 Comparer des puissances ★★★

1. 2³ = 8 et 3² = 9 : 2³ < 3².
2. 4² = 16 et 2⁴ = 16 : elles sont égales.
3. 5² = 25 et 2⁵ = 32 : 5² < 2⁵.
4. 6² = 36 et 3⁴ = 81 : 6² < 3⁴.
5. 10² = 100 et 2¹⁰ = 1 024 : 10² < 2¹⁰.

Échanger la base et l’exposant ne donne pas toujours le même résultat.

10 Chasse aux erreurs ★★★

1. Faux : 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. L’élève a calculé 2 × 4.
2. Faux : 3² = 3 × 3 = 9. L’élève a calculé 3 × 2.
3. Faux : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
4. Faux : (2 × 3)² = 6² = 36. L’élève a calculé 6 × 2.
5. Faux : 2 × 3² = 2 × 9 = 18. L’élève a multiplié 2 par 3 avant de calculer la puissance.

11 Tableau de valeurs ★★★

Exemple pour x = 4 : 3x² = 3 × 16 = 48 et (3x)² = 12² = 144.

12 Calculer une expression ★★★

1. A = 2 × 3² − 5 = 2 × 9 − 5 = 18 − 5 = 13.
2. A = 2 × 5² − 5 = 2 × 25 − 5 = 50 − 5 = 45.
3. B = 2³ + 2 = 8 + 2 = 10.
4. B = 3³ + 3 = 27 + 3 = 30.
5. C = 4 + 3 × 0² = 4 + 3 × 0 = 4.

13 Décomposer avec des puissances de 10 ★★★

1. 4 506 = 4 × 10³ + 5 × 10² + 0 × 10 + 6.
2. 3 × 10⁴ + 2 × 10² + 5 = 30 000 + 200 + 5 = 30 205.
3. 6 × 10⁵ + 4 × 10³ = 600 000 + 4 000 = 604 000.
4. 9 × 10² + 1 × 10 + 7 = 900 + 10 + 7 = 917.

14 Multiplier par une puissance de 10 ★★★

1. 4,7 × 100 = 470 (virgule décalée de 2 rangs).
2. 0,35 × 1 000 = 350.
3. 12 × 10 000 = 120 000.
4. 8,06 × 100 000 = 806 000.
5. 2,5 × 10 = 25.

15 Le carrelage ★★★

1. Aire = 6² = 36 m².
2. 6 m = 600 cm et 600 ÷ 30 = 20 : il y a 20 carreaux sur un côté.
3. Le nombre total de carreaux est 20² = 20 × 20 = 400. Vérification : un carreau a pour aire 0,3² = 0,09 m² et 36 ÷ 0,09 = 400.

Réponse : il faut 400 carreaux.

16 Le grand cube ★★★

1. 6³ = 6 × 6 × 6 = 216 petits cubes.
2. Le cube intérieur contient 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 petits cubes.
3. Les cubes de la surface sont tous ceux qui ne sont pas dans le cube intérieur : 216 − 64 = 152 petits cubes.

17 Énigmes ★★★

1. 13² = 169 donc je suis 13.
2. 7³ = 343 donc je suis 7.
3. Mon carré vaut 50 − 1 = 49 et 7² = 49 : je suis 7.
4. Mon cube vaut 54 + 10 = 64 et 4³ = 64 : je suis 4.

18 Expressions à parenthèses ★★★

1. C = 5³ − 8 × 3 = 125 − 24 = 101.
2. D = 9 × 8 − 5² = 72 − 25 = 47.
3. E = 100 − (16 + 9) = 100 − 25 = 75.
4. F = 2 × (9 + 16) − 25 = 2 × 25 − 25 = 50 − 25 = 25.

19 Le nénuphar ★★★

1. Jour 1 : 2 ; jour 2 : 4 ; jour 3 : 8 m². Au 8^e jour : 2⁸ = 256 m².
2. Le premier jour : 2¹ = 2 ; le deuxième : 2² = 4 ; le troisième : 2³ = 8. Le n-ième jour, la surface est 2ⁿ m².
3. Au 9^e jour : 2⁹ = 512 m², insuffisant. Au 10^e jour : 2¹⁰ = 1 024 m², donc supérieur à 1 000. Il faut 10 jours.

20 La rumeur ★★★

1. Étape 1 : 3 ; étape 2 : 3 × 3 = 3² = 9 ; étape 4 : 3⁴ = 81 ; étape 5 : 3⁵ = 243 personnes.
2. En comptant Inès : 1 + 3 + 9 + 27 = 40 personnes (27 = 3³ apprennent la rumeur à l’étape 3).

21 Deux programmes de calcul ★★★

1. n = 2 : A : 2³ − 2 = 8 − 2 = 6 ; B : 1 × 2 × 3 = 6. n = 5 : A : 5³ − 5 = 125 − 5 = 120 ; B : 4 × 5 × 6 = 120.
2. n = 1 : A : 1³ − 1 = 0 ; B : 0 × 1 × 2 = 0.
3. Les deux programmes donnent toujours le même résultat sur ces essais. Mais quelques essais ne prouvent pas que c’est vrai pour tous les nombres : on peut seulement conjecturer l’égalité (tu la démontreras plus tard avec le calcul littéral).

22 Somme de cubes ★★★

1. 1 + 8 = 9.
2. 1 + 8 + 27 = 36.
3. 1 + 8 + 27 + 64 = 100.
4. (1 + 2)² = 3² = 9 ; (1 + 2 + 3)² = 6² = 36 ; (1 + 2 + 3 + 4)² = 10² = 100. Chaque somme de cubes est égale au carré de la somme des entiers correspondants : c’est une jolie régularité.