Dérivation : nombre dérivé et tangente : corrigé des exercices de maths 1ère

1 Taux de variation entre deux valeurs ★★★

1. f(1) = 1 et f(4) = 16. Taux : 16 − 14 − 1 = 153 = 5.
2. g(−1) = 2 × 1 − (−1) = 3 et g(2) = 2 × 4 − 2 = 6. Taux : 6 − 32 − (−1) = 33 = 1.
3. h(2) = 12 et h(5) = 15. Taux : (15 − 12) ÷ 3 = −310 ÷ 3 = −110.

2 Vitesse moyenne d’une pierre ★★★

1. d(1) = 5 et d(3) = 45. Vitesse moyenne : 45 − 53 − 1 = 402 = 20 m/s.
2. d(2) = 20 et d(2,5) = 5 × 6,25 = 31,25. Vitesse moyenne : 31,25 − 200,5 = 11,250,5 = 22,5 m/s.
3. Chaque nombre est le taux de variation de d, c’est-à-dire le coefficient directeur d’une sécante à la courbe de d. L’intervalle étant plus petit en (b), la vitesse se rapproche de la vitesse à t = 2 (qui vaut 20 m/s).

3 Du taux de variation au nombre dérivé ★★★

1. f(2 + h) = 4 + 4h + h² et f(2) = 4, donc le taux vaut 4h + h²h = 4 + h (on simplifie par h ≠ 0).
2. Pour h = 1 : 5. Pour h = 0,1 : 4,1. Pour h = 0,01 : 4,01.
3. Quand h tend vers 0, 4 + h tend vers 4. Donc f ′(2) = 4.

4 Lecture graphique de nombres dérivés ★★★

1. La tangente en A passe par (0 ; 1) et (1 ; 3) : pente 3 − 11 − 0 = 2, donc f ′(0) = 2. La tangente en B est horizontale (y = 3) : f ′(2) = 0. La tangente en C passe par (4 ; 1) et (3 ; 3) : pente 3 − 13 − 4 = −2, donc f ′(4) = −2.
2. La pente est 2 et l’ordonnée à l’origine est 1 : y = 2x + 1.

5 Nombres dérivés avec les formules ★★★

1. f ′(x) = 3x², donc f ′(2) = 3 × 4 = 12.
2. g ′(x) = −1x², donc g ′(4) = −116.
3. h ′(x) = 12√x, donc h ′(9) = 12 × 3 = 16.
4. k ′(x) = 5x⁴, donc k ′(−1) = 5 × (−1)⁴ = 5.

6 Dérivées de polynômes ★★★

1. f ′(x) = 5 × 2x − 3 + 0 = 10x − 3.
2. g ′(x) = 4x³ + 2x.
3. h ′(x) = 12 × 4x³ − 3 × 3x² + 1 = 2x³ − 9x² + 1.
4. k ′(x) = 0 − 5x⁴ = −5x⁴.

7 Équations de tangentes simples ★★★

1. f(3) = 9 et f ′(x) = 2x, donc f ′(3) = 6. Tangente : y = 6(x − 3) + 9 = 6x − 9.
2. g(1) = 1 et g ′(x) = 3x², donc g ′(1) = 3. Tangente : y = 3(x − 1) + 1 = 3x − 2.

8 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : (3x)′ = 3 et la dérivée d’une constante est 0.
2. Faux : (x²)′ = 2x, donc le nombre dérivé en 3 vaut 6 (c’est la valeur 9 de f(3) qu’il ne faut pas confondre).
3. Faux : (uv)′ = u ′v + uv ′. Contre-exemple : u = v = x, (x²)′ = 2x alors que 1 × 1 = 1.
4. Vrai : le coefficient directeur de la tangente est f ′(a) = 0, son équation est y = f(a).
5. Faux : le taux entre 0 et h vaut 1√h, qui n’a pas de limite réelle ; la tangente est verticale.

9 Nombre dérivé par la définition ★★★

1. f(1) = −1 et f(1 + h) = 2(1 + 2h + h²) − 3 − 3h = −1 + h + 2h². Taux : h + 2h²h = 1 + 2h, qui tend vers 1. Donc f ′(1) = 1.
2. g(−1) = 1 − 5 = −4 et g(−1 + h) = 1 − 2h + h² − 5 + 5h = −4 + 3h + h². Taux : 3h + h²h = 3 + h, qui tend vers 3. Donc g ′(−1) = 3. (Vérification avec g ′(x) = 2x + 5 : −2 + 5 = 3.)

10 Tangente à une cubique ★★★

f ′(x) = 3x² − 2.

En a = 1 : f(1) = −1, f ′(1) = 1. Tangente : y = 1(x − 1) − 1 = x − 2.

En a = −2 : f(−2) = −8 + 4 = −4, f ′(−2) = 12 − 2 = 10. Tangente : y = 10(x + 2) − 4 = 10x + 16.

11 Dérivées de produits ★★★

1. u = x² + 1, u ′ = 2x ; v = 3x − 2, v ′ = 3. f ′(x) = 2x(3x − 2) + 3(x² + 1) = 6x² − 4x + 3x² + 3 = 9x² − 4x + 3.
2. u = 2x − 1, u ′ = 2 ; v = √x, v ′ = 12√x. g ′(x) = 2√x + (2x − 1) × 12√x. On met au même dénominateur : 2√x = 4x2√x (car 4x = 2√x × 2√x), donc g ′(x) = 4x + 2x − 12√x = 6x − 12√x.
3. u = x³ − x, u ′ = 3x² − 1 ; v = x² + 2, v ′ = 2x. h ′(x) = (3x² − 1)(x² + 2) + (x³ − x) × 2x = 3x⁴ + 5x² − 2 + 2x⁴ − 2x² = 5x⁴ + 3x² − 2. (Contrôle : h(x) = x⁵ + x³ − 2x.)

12 Dérivées de quotients ★★★

1. u = x + 1, u ′ = 1 ; v = x − 2, v ′ = 1. f ′(x) = (x − 2) − (x + 1)(x − 2)² = −3(x − 2)².
2. u = 3x − 1, u ′ = 3 ; v = x² + 1, v ′ = 2x. Numérateur : 3(x² + 1) − (3x − 1) × 2x = 3x² + 3 − 6x² + 2x = −3x² + 2x + 3. g ′(x) = −3x² + 2x + 3(x² + 1)².
3. u = x, u ′ = 1 ; v = x² + 4, v ′ = 2x. Numérateur : (x² + 4) − x × 2x = 4 − x². h ′(x) = 4 − x²(x² + 4)².

13 Composées avec une fonction affine ★★★

1. Sur ℝ : f ′(x) = 3 × 4(3x − 5)³ = 12(3x − 5)³.
2. Sur ]−12 ; +∞[ : g ′(x) = 2 × 12√(2x + 1) = 1√(2x + 1).
3. Sur ]−34 ; +∞[ (ou sur ]−∞ ; −34[) : h ′(x) = 4 × (−1(4x + 3)²) = −4(4x + 3)².
4. Sur ℝ, ici a = −1 : k ′(x) = −1 × 6(1 − x)⁵ = −6(1 − x)⁵.

14 Tangentes horizontales ★★★

La tangente est horizontale en a si, et seulement si, f ′(a) = 0.

1. f ′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) = 0 ⇔ x = 1 ou x = −1. f(1) = −2 et f(−1) = 2. Points : (1 ; −2) et (−1 ; 2).
2. g ′(x) = 2x − 6 = 0 ⇔ x = 3. g(3) = 9 − 18 + 4 = −5. Point : (3 ; −5).

15 Tangentes passant par l’origine ★★★

f ′(a) = 2a et f(a) = a² + 1. La tangente a pour équation y = 2a(x − a) + a² + 1. Elle passe par O si 0 = 2a(0 − a) + a² + 1, soit −2a² + a² + 1 = 0, donc 1 − a² = 0, d’où a = 1 ou a = −1.

Pour a = 1 : y = 2(x − 1) + 2 = 2x. Pour a = −1 : y = −2(x + 1) + 2 = −2x.

16 Tangente parallèle à une droite ★★★

Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur : on cherche a tel que f ′(a) = 2. Comme f ′(x) = 2x − 4, l’équation 2a − 4 = 2 donne a = 3. On a f(3) = 9 − 12 = −3. La tangente est y = 2(x − 3) − 3 = 2x − 9. Oui, au point de coordonnées (3 ; −3).

17 Coût marginal ★★★

1. C ′(q) = 0,5 × 2q + 4 = q + 4, donc C ′(10) = 14 €.
2. C(10) = 50 + 40 + 50 = 140 et C(11) = 0,5 × 121 + 44 + 50 = 154,5. Le 11^e objet coûte 14,50 €.
3. Le coût marginal 14 € est une très bonne estimation du coût réel 14,50 € : l’écart n’est que de 0,50 €.

18 Vitesse instantanée ★★★

1. d ′(t) = 10t + 2 (en m/s).
2. d ′(0) = 2 m/s. d ′(3) = 32 m/s, soit 32 × 3,6 = 115,2 km/h.
3. d(3) = 45 + 6 = 51 et d(0) = 0, donc la vitesse moyenne est 513 = 17 m/s. Elle est inférieure à la vitesse finale (32 m/s) car le cycliste accélère : sa vitesse moyenne est la moyenne de 2 et 32.

19 Tangente à un quotient ★★★

1. u = 2x + 1, u ′ = 2 ; v = x − 1, v ′ = 1. Numérateur : 2(x − 1) − (2x + 1) = −3. Donc f ′(x) = −3(x − 1)².
2. f(2) = 51 = 5 et f ′(2) = −3. T : y = −3(x − 2) + 5 = −3x + 11.
3. Avec l’axe des ordonnées (x = 0) : y = 11, point (0 ; 11). Avec l’axe des abscisses (y = 0) : −3x + 11 = 0, x = 113, point (113 ; 0).

20 Tangente à une fonction avec racine ★★★

g ′(x) = 3 × 12√x − 2 = 32√x − 2. En 4 : g(4) = 3 × 2 − 8 = −2 et g ′(4) = 34 − 2 = −54. La tangente est y = −54(x − 4) − 2 = −54x + 5 − 2 = −54x + 3.

21 Dérivée de l’inverse par la définition ★★★

Soit h ≠ 0 avec a + h ≠ 0. Le taux de variation vaut (1a + h − 1a) ÷ h. On met au même dénominateur le numérateur : 1a + h − 1a = a − (a + h)a(a + h) = −ha(a + h). Donc le taux vaut −ha(a + h) × 1h = −1a(a + h) (on a simplifié par h ≠ 0). Quand h tend vers 0, a(a + h) tend vers a² ≠ 0, donc le taux tend vers −1a². Ainsi f est dérivable en a et f ′(a) = −1a².

22 Non-dérivabilité de la racine carrée en 0 ★★★

1. √h − √0h − 0 = √hh = 1√h (car h = √h × √h).
2. Pour h = 0,01 : 10,1 = 10. Pour h = 0,0001 : 10,01 = 100.
3. Le taux de variation devient aussi grand qu’on le veut quand h se rapproche de 0 : il n’a pas de limite réelle. f n’est pas dérivable en 0. La courbe a en O une tangente verticale (l’axe des ordonnées).

23 Déterminer une parabole ★★★

A est sur la courbe : f(1) = 2, soit a + b + 1 = 2, donc a + b = 1. (1)

f ′(x) = 2ax + b et f ′(1) = 3, donc 2a + b = 3. (2)

(2) − (1) : a = 2, puis b = 1 − 2 = −1. Donc f(x) = 2x² − x + 1. Vérification : f(1) = 2 ; f ′(1) = 4 − 1 = 3.

24 Position relative d’une courbe et de sa tangente ★★★

1. f(1) = −1 et f ′(x) = 2x − 2, f ′(1) = 0 : T a pour équation y = −1. On étudie f(x) − (−1) = x² − 2x + 1 = (x − 1)² ≥ 0. La courbe est au-dessus de T sur ℝ (elle touche T en x = 1).
2. g(1) = 1, g ′(1) = 3 : T a pour équation y = 3x − 2. On étudie x³ − 3x + 2 = (x − 1)²(x + 2) (on le vérifie en développant). Ce produit est du signe de x + 2 (car (x − 1)² ≥ 0) : la courbe est au-dessus de T pour x > −2 (x ≠ 1), en dessous pour x < −2, et T coupe aussi la courbe en x = −2.

25 Deux courbes tangentes ★★★

f(1) = 1 et g(1) = −1 + 4 − 2 = 1 : les courbes passent par le même point (1 ; 1).

f ′(x) = 2x donc f ′(1) = 2. g ′(x) = −2x + 4 donc g ′(1) = 2. Les tangentes ont même point et même coefficient directeur : elles sont confondues. Équation : y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.

26 Approximations affines ★★★

1. f ′(9) = 16, h = 0,06 : √9,06 ≈ 3 + 0,066 = 3,01. Calculatrice : 3,00998…
2. f ′(1) = −1, h = 0,02 : 11,02 ≈ 1 − 0,02 = 0,98. Calculatrice : 0,98039…
3. f ′(1) = 5, h = 0,01 : 1,01⁵ ≈ 1 + 5 × 0,01 = 1,05. Calculatrice : 1,05101…

Les approximations sont justes à moins de 0,002 près : h étant petit, la tangente est très proche de la courbe.