Une figure peut glisser, tourner, se retourner comme dans un miroir, ou grossir comme sous une loupe. Ces opérations s’appellent des transformations du plan. En 3ème, tu rassembles tout ce que tu connais (symétries, translations, rotations) et tu découvres une nouvelle venue, l’homothétie, qui agrandit ou réduit. Tu apprends à construire des images de figures, à dire ce qui est conservé ou non, puis à reconnaître des frises et des pavages.
1. Rappels : symétries axiale et centrale
Symétrie axiale
Deux points A et A’ sont symétriques par rapport à une droite (d) lorsque (d) est la médiatrice du segment [AA’]. C’est l’effet d’un miroir : la figure est « retournée ».
Deux points A et A’ sont symétriques par rapport à une droite (d) lorsque (d) est la médiatrice du segment [AA’]. C’est l’effet d’un miroir : la figure est « retournée ».
Symétrie centrale
Deux points A et A’ sont symétriques par rapport à un point O lorsque O est le milieu de [AA’]. C’est un demi-tour autour de O.
Deux points A et A’ sont symétriques par rapport à un point O lorsque O est le milieu de [AA’]. C’est un demi-tour autour de O.
Le triangle A’B’C’ est l’image de ABC par la symétrie de centre O : O est le milieu de [AA’], de [BB’] et de [CC’].
Construire l’image d’une figure
On construit l’image de chaque sommet (ou de quelques points bien choisis), puis on relie les images dans le même ordre. Pour un cercle, il suffit de construire l’image de son centre : le rayon ne change pas.
On construit l’image de chaque sommet (ou de quelques points bien choisis), puis on relie les images dans le même ordre. Pour un cercle, il suffit de construire l’image de son centre : le rayon ne change pas.
Axiale ou centrale ?
La symétrie axiale change le sens de lecture de la figure (le « R » devient « Я »). La symétrie centrale la fait tourner d’un demi-tour mais ne la retourne pas. Ne confonds pas les deux !
La symétrie axiale change le sens de lecture de la figure (le « R » devient « Я »). La symétrie centrale la fait tourner d’un demi-tour mais ne la retourne pas. Ne confonds pas les deux !
2. La translation
Translation
Une translation fait glisser toute la figure en ligne droite, dans une même direction, dans un même sens et sur une même distance, sans la tourner. Elle est définie par la donnée d’un point et de son image : « la translation qui transforme A en A’ ».
Une translation fait glisser toute la figure en ligne droite, dans une même direction, dans un même sens et sur une même distance, sans la tourner. Elle est définie par la donnée d’un point et de son image : « la translation qui transforme A en A’ ».
Ici, chaque point se déplace de 5 carreaux vers la droite et de 3 carreaux vers le haut.
Construire l’image d’un point M
Pour la translation qui transforme A en A’, on voit comment aller de A à A’ (par exemple « 5 carreaux à droite, 3 en haut »). On refait exactement le même déplacement à partir de M. Les segments [AA’], [MM’] sont parallèles, de même longueur et de même sens ; AA’M’M est un parallélogramme (si A, A’, M ne sont pas alignés).
Pour la translation qui transforme A en A’, on voit comment aller de A à A’ (par exemple « 5 carreaux à droite, 3 en haut »). On refait exactement le même déplacement à partir de M. Les segments [AA’], [MM’] sont parallèles, de même longueur et de même sens ; AA’M’M est un parallélogramme (si A, A’, M ne sont pas alignés).
Propriété
Une translation transforme une droite en une droite parallèle à elle-même. Par la translation, chaque segment a pour image un segment parallèle de même longueur.
Une translation transforme une droite en une droite parallèle à elle-même. Par la translation, chaque segment a pour image un segment parallèle de même longueur.
3. La rotation
Rotation
Une rotation est définie par un centre O, un angle et un sens (horaire, comme les aiguilles d’une montre, ou antihoraire). L’image M’ d’un point M vérifie : OM’ = OM et l’angle MOM’ est égal à l’angle de la rotation, dans le bon sens. Le centre est sa propre image.
Une rotation est définie par un centre O, un angle et un sens (horaire, comme les aiguilles d’une montre, ou antihoraire). L’image M’ d’un point M vérifie : OM’ = OM et l’angle MOM’ est égal à l’angle de la rotation, dans le bon sens. Le centre est sa propre image.
Rotation de centre O, d’angle 90°, dans le sens antihoraire : A va en A’. On a OA = OA’ = √5 carreaux et l’angle AOA’ mesure 90°.
Construire l’image d’un point M par une rotation de centre O, d’angle α
1) Trace le segment [OM]. 2) Avec le rapporteur, trace en O un angle α dans le sens demandé, à partir de [OM). 3) Sur cette demi-droite, reporte la longueur OM au compas : tu obtiens M’. Sur un quadrillage, un quart de tour se fait « à l’équerre » : on tourne le déplacement de O vers M d’un quart de tour.
1) Trace le segment [OM]. 2) Avec le rapporteur, trace en O un angle α dans le sens demandé, à partir de [OM). 3) Sur cette demi-droite, reporte la longueur OM au compas : tu obtiens M’. Sur un quadrillage, un quart de tour se fait « à l’équerre » : on tourne le déplacement de O vers M d’un quart de tour.
Cas particulier
La rotation d’angle 180° de centre O est la symétrie centrale de centre O. Deux quarts de tour de suite dans le même sens font un demi-tour.
La rotation d’angle 180° de centre O est la symétrie centrale de centre O. Deux quarts de tour de suite dans le même sens font un demi-tour.
4. L’homothétie de rapport positif
Homothétie
L’homothétie de centre O et de rapport k (k ≠ 0) transforme tout point M en un point M’ tel que O, M et M’ sont alignés et OM’ = |k| × OM. Si k est positif, M’ est sur la demi-droite [OM) : M et M’ sont du même côté de O.
L’homothétie de centre O et de rapport k (k ≠ 0) transforme tout point M en un point M’ tel que O, M et M’ sont alignés et OM’ = |k| × OM. Si k est positif, M’ est sur la demi-droite [OM) : M et M’ sont du même côté de O.
Homothétie de centre O et de rapport 2 : OA’ = 2 × OA, OB’ = 2 × OB, OC’ = 2 × OC. Le triangle A’B’C’ est un agrandissement de ABC.
Agrandir ou réduire
Si k > 1, la figure est agrandie ; si 0 < k < 1, elle est réduite ; si k = 1, elle ne bouge pas. Par exemple, une homothétie de rapport 13 divise toutes les longueurs par 3 : on obtient une réduction.
Si k > 1, la figure est agrandie ; si 0 < k < 1, elle est réduite ; si k = 1, elle ne bouge pas. Par exemple, une homothétie de rapport 13 divise toutes les longueurs par 3 : on obtient une réduction.
Construire l’image de M par l’homothétie de centre O et de rapport k
1) Trace la droite (OM). 2) Mesure OM, calcule k × OM. 3) Reporte cette longueur à partir de O sur la demi-droite [OM) : tu obtiens M’. Sur un quadrillage, on multiplie par k le déplacement de O vers M.
1) Trace la droite (OM). 2) Mesure OM, calcule k × OM. 3) Reporte cette longueur à partir de O sur la demi-droite [OM) : tu obtiens M’. Sur un quadrillage, on multiplie par k le déplacement de O vers M.
5. L’homothétie de rapport négatif
Rapport négatif
Si k est négatif, M’ est du côté opposé à M par rapport à O : O est entre M et M’. On a toujours OM’ = |k| × OM, par exemple OM’ = 2 × OM si k = −2.
Si k est négatif, M’ est du côté opposé à M par rapport à O : O est entre M et M’. On a toujours OM’ = |k| × OM, par exemple OM’ = 2 × OM si k = −2.
Homothétie de centre O et de rapport −2 : A’, B’ et C’ sont de l’autre côté de O et deux fois plus loin. Le triangle semble « renversé » et agrandi.
Cas particuliers à connaître
Le rapport 1 laisse tout en place. Le rapport −1 est la symétrie centrale de centre O. Deux homothéties de même centre, de rapports k et k’, se suivent comme une homothétie de rapport k × k’.
Le rapport 1 laisse tout en place. Le rapport −1 est la symétrie centrale de centre O. Deux homothéties de même centre, de rapports k et k’, se suivent comme une homothétie de rapport k × k’.
Exemple avec coordonnées
Centre l’origine O(0 ; 0), rapport −3, point A(2 ; −1). Les coordonnées sont multipliées par −3 : A'(−6 ; 3). Pour un centre quelconque Ω(a ; b), on calcule d’abord le déplacement de Ω vers le point, on le multiplie par k, puis on repart de Ω.
Centre l’origine O(0 ; 0), rapport −3, point A(2 ; −1). Les coordonnées sont multipliées par −3 : A'(−6 ; 3). Pour un centre quelconque Ω(a ; b), on calcule d’abord le déplacement de Ω vers le point, on le multiplie par k, puis on repart de Ω.
6. Agrandissement, réduction et grandeurs
Effet d’une homothétie de rapport k
Les longueurs sont multipliées par |k|. Les angles ne changent pas. Les aires sont multipliées par k². Dans l’espace, les volumes sont multipliés par |k|³.
Les longueurs sont multipliées par |k|. Les angles ne changent pas. Les aires sont multipliées par k². Dans l’espace, les volumes sont multipliés par |k|³.
Exemple
On agrandit un rectangle de 6 cm sur 4 cm avec k = 2,5. Dimensions : 15 cm sur 10 cm. Aire avant : 24 cm². Aire après : 150 cm² = 24 × 2,5² = 24 × 6,25. Les angles droits restent droits.
On agrandit un rectangle de 6 cm sur 4 cm avec k = 2,5. Dimensions : 15 cm sur 10 cm. Aire avant : 24 cm². Aire après : 150 cm² = 24 × 2,5² = 24 × 6,25. Les angles droits restent droits.
Piège classique
Doubler les longueurs ne double pas l’aire : elle est multipliée par 4. Pour un solide, doubler toutes les longueurs multiplie le volume par 8 !
Doubler les longueurs ne double pas l’aire : elle est multipliée par 4. Pour un solide, doubler toutes les longueurs multiplie le volume par 8 !
Échelle
Une maquette à l’échelle 150 est une réduction de rapport 150. Une longueur de 3 m devient 6 cm. Son volume est divisé par 50³ = 125 000.
Une maquette à l’échelle 150 est une réduction de rapport 150. Une longueur de 3 m devient 6 cm. Son volume est divisé par 50³ = 125 000.
7. Ce qui est conservé
Quand on transforme une figure, certaines propriétés restent les mêmes. Le tableau les résume.
| Symétries, translation, rotation | Homothétie de rapport k | |
|---|---|---|
| Alignement, parallélisme | conservés | conservés |
| Angles | conservés | conservés |
| Longueurs | conservées | multipliées par |k| |
| Aires | conservées | multipliées par k² |
| Image d’une droite | une droite (parallèle pour la translation, la symétrie centrale et l’homothétie) | une droite parallèle |
Vocabulaire
Les transformations qui conservent les longueurs (symétries, translation, rotation) donnent une figure de même forme et de même taille : l’image est « superposable » à l’original. L’homothétie donne une figure de même forme, mais de taille différente (sauf si k = 1 ou −1).
Les transformations qui conservent les longueurs (symétries, translation, rotation) donnent une figure de même forme et de même taille : l’image est « superposable » à l’original. L’homothétie donne une figure de même forme, mais de taille différente (sauf si k = 1 ou −1).
Mathbot
Pour reconnaître une transformation, pose-toi trois questions : la figure a-t-elle glissé sans tourner (translation) ? a-t-elle tourné (rotation) ? a-t-elle changé de taille (homothétie) ?
Pour reconnaître une transformation, pose-toi trois questions : la figure a-t-elle glissé sans tourner (translation) ? a-t-elle tourné (rotation) ? a-t-elle changé de taille (homothétie) ?
8. Frises et pavages
Frise
Une frise est une bande dans laquelle un motif se répète à intervalles réguliers. Le plus souvent, on passe d’un motif au suivant par une translation.
Une frise est une bande dans laquelle un motif se répète à intervalles réguliers. Le plus souvent, on passe d’un motif au suivant par une translation.
Chaque motif est l’image du précédent par la translation de 4 carreaux vers la droite.
Pavage
Un pavage recouvre tout le plan avec des figures identiques, sans trou ni chevauchement. Autour de chaque sommet, la somme des angles doit faire 360°.
Un pavage recouvre tout le plan avec des figures identiques, sans trou ni chevauchement. Autour de chaque sommet, la somme des angles doit faire 360°.
Six triangles équilatéraux autour de O. T2 est l’image de T1 par la rotation de centre O, d’angle 60°.
Pourquoi ça marche ?
Un triangle équilatéral a des angles de 60° : 6 × 60° = 360°. Un carré a des angles de 90° : 4 × 90° = 360°. Un hexagone régulier a des angles de 120° : 3 × 120° = 360°. Mais un pentagone régulier (108°) ne pave pas : 3 × 108° = 324° laisse un trou, et 4 × 108° = 432° se chevauche.
Un triangle équilatéral a des angles de 60° : 6 × 60° = 360°. Un carré a des angles de 90° : 4 × 90° = 360°. Un hexagone régulier a des angles de 120° : 3 × 120° = 360°. Mais un pentagone régulier (108°) ne pave pas : 3 × 108° = 324° laisse un trou, et 4 × 108° = 432° se chevauche.
9. Composer des transformations
Composer
Composer deux transformations, c’est en effectuer une, puis l’autre sur l’image obtenue. L’ordre peut avoir de l’importance !
Composer deux transformations, c’est en effectuer une, puis l’autre sur l’image obtenue. L’ordre peut avoir de l’importance !
Quelques compositions utiles
Deux translations successives sont équivalentes à une translation. Deux rotations de même centre s’ajoutent : 90° puis 90° dans le même sens font 180°. Deux symétries centrales de centres O₁ puis O₂ font une translation : le point glisse du double du déplacement de O₁ à O₂.
Deux translations successives sont équivalentes à une translation. Deux rotations de même centre s’ajoutent : 90° puis 90° dans le même sens font 180°. Deux symétries centrales de centres O₁ puis O₂ font une translation : le point glisse du double du déplacement de O₁ à O₂.
Exemple
Soit A(1 ; 1), O₁(3 ; 2), O₂(6 ; 0). Par la symétrie de centre O₁, A devient A₁(5 ; 3). Par la symétrie de centre O₂, A₁ devient A₂(7 ; −3). Le passage de A à A₂ est une translation de (+6 ; −4), qui est bien le double du déplacement de O₁ à O₂ (+3 ; −2).
Soit A(1 ; 1), O₁(3 ; 2), O₂(6 ; 0). Par la symétrie de centre O₁, A devient A₁(5 ; 3). Par la symétrie de centre O₂, A₁ devient A₂(7 ; −3). Le passage de A à A₂ est une translation de (+6 ; −4), qui est bien le double du déplacement de O₁ à O₂ (+3 ; −2).
Méthode pour reconnaître une transformation
1) Compare la forme et la taille : si la taille change, c’est une homothétie. 2) Sinon, regarde si la figure est retournée (symétrie axiale) ou non. 3) Si elle est dans le même sens : sans tourner, c’est une translation ; en tournant, une rotation (ou une symétrie centrale si c’est un demi-tour). 4) Pour trouver le centre, trace des droites reliant des points et leurs images.
1) Compare la forme et la taille : si la taille change, c’est une homothétie. 2) Sinon, regarde si la figure est retournée (symétrie axiale) ou non. 3) Si elle est dans le même sens : sans tourner, c’est une translation ; en tournant, une rotation (ou une symétrie centrale si c’est un demi-tour). 4) Pour trouver le centre, trace des droites reliant des points et leurs images.
À retenir
- Translation : on glisse ; définie par « A devient A’ » ; l’image d’une droite est parallèle.
- Rotation : centre, angle, sens ; OM’ = OM ; 180° = symétrie centrale.
- Homothétie de centre O et de rapport k : O, M, M’ alignés et OM’ = |k| × OM ; k > 0 même côté, k < 0 côté opposé ; k = −1 : symétrie centrale.
- Symétries, translation, rotation conservent longueurs, angles, aires, parallélisme.
- Homothétie de rapport k : longueurs × |k|, aires × k², volumes × |k|³, angles inchangés.
- Une frise se répète par translation ; un pavage a 360° autour de chaque sommet.
- Deux symétries centrales de suite donnent une translation.