Distances, angles et triangles : corrigé des exercices de maths 6ème

1 Écrire avec les notations ★★★

1. La droite passant par M et N se note (MN).
2. La demi-droite d’origine R passant par S se note [RS).
3. Le segment d’extrémités E et F se note [EF].
4. Sa longueur se note EF (c’est un nombre, par exemple 5 cm).

2 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : une droite passant par A et B est la même quel que soit l’ordre des lettres.
2. Faux : [AB) a pour origine A et [BA) a pour origine B ; elles partent dans des sens opposés.
3. Faux : une droite n’a pas de fin, on ne peut pas la mesurer entièrement. On mesure seulement des segments.
4. Vrai : ses deux extrémités délimitent le segment.
5. Vrai : la distance de A à B est égale à la distance de B à A.

3 Points alignés ? ★★★

On trace la droite (AB) avec la règle :

1. Oui : A, B et C sont alignés, la règle posée sur A et B passe aussi par C.
2. Non : D est au-dessus de la droite (AB), A, B et D ne sont pas alignés.
3. Non, ni D ni E ne sont sur la droite (AB) : D est en dessous de la droite et E est au-dessus.

4 Milieux et longueurs ★★★

1. I est le milieu de [AB], donc AI = AB ÷ 2 = 9,4 ÷ 2 = 4,7 cm.
2. J est le milieu de [CD], donc CD = 2 × CJ = 2 × 3,6 = 7,2 cm.
3. EK = KF = 15 ÷ 2 = 7,5 cm.

5 Rayon ou diamètre ? ★★★

Le diamètre est le double du rayon : 2 × 4 = 8 ; 13 ÷ 2 = 6,5 ; 2 × 2,5 = 5 ; 1,2 ÷ 2 = 0,6.

6 Le vocabulaire du cercle ★★★

1. [OC] est un rayon : il joint le centre O à un point du cercle.
2. [AB] est un diamètre : il joint deux points du cercle en passant par le centre.
3. [DE] est une corde qui ne passe pas par le centre.
4. Le rayon est la moitié du diamètre : 7 ÷ 2 = 3,5 cm.

7 Types d’angles ★★★

a. 72° < 90° : aigu ; b. 90° : droit ; c. 143° est entre 90° et 180° : obtus ; d. 180° : plat ; e. 17° : aigu.

8 Lire des angles au rapporteur ★★★

1. La demi-droite [OA) est sur le 0. On lit : ∠AOB = 35° ; ∠AOC = 100° ; ∠AOD = 145°.
2. ∠BOC = 100° − 35° = 65° ; ∠COD = 145° − 100° = 45°.

9 Construire des angles ★★★

Méthode pour a. : on trace [Ox), on place le centre du rapporteur en O et le 0 sur [Ox), on marque un point à 50°, puis on trace [Oy) qui passe par ce point. On code l’angle avec un arc.

Pour b., on fait pareil avec la graduation 125 : l’angle doit paraître obtus. Si ton angle semble aigu, tu as lu 55° (180° − 125°) : tu as pris la mauvaise série de nombres.

Pour c., l’angle droit se vérifie à l’équerre : le sommet F sur le coin de l’équerre, les deux côtés le long des bords. Il se code avec un petit carré.

10 Calculer des angles ★★★

1. A, O et B sont alignés : ∠AOB est un angle plat de 180°. On a ∠AOC + ∠BOC = 180°. Donc ∠AOC = 180° − 70° = 110°.
2. ∠DEG + ∠GEF = ∠DEF = 90°. Donc ∠GEF = 90° − 34° = 56°.

11 Un triangle isocèle ★★★

1. ABC est isocèle en A, donc AB = AC. Ainsi AC = 5,5 cm.
2. Périmètre = AB + AC + BC = 5,5 + 5,5 + 4 = 15 cm.
3. Les trois côtés sont égaux : 3 × 6,5 = 19,5 cm.

12 Reconnaître des triangles ★★★

a. trois côtés égaux : équilatéral ; b. deux côtés de 5 cm : isocèle ; c. trois longueurs différentes : quelconque ; d. deux côtés de 2,4 cm : isocèle ; e. deux côtés de 9 cm : isocèle.

13 Peut-on construire ce triangle ? ★★★

On compare le plus grand côté à la somme des deux autres.

a. 3 + 4 = 7 > 5 : oui. b. 2 + 3 = 5 < 6 : non. c. 5 + 5 = 10, égal à 10 : non (le « triangle » serait aplati, les trois points seraient alignés). d. 4,5 + 2 = 6,5 > 6 : oui.

14 Le chemin le plus court ★★★

1. MB + BE = 350 + 480 = 830 m.
2. 830 − 700 = 130 m de moins par le chemin direct.
3. MB + BE = 830 m et ME = 700 m : ces nombres sont différents, donc B n’est pas sur le segment [ME].

15 Sur le cercle, dans le disque ? ★★★

1. Les points du cercle sont à exactement 3 cm de O : F et J.
2. Le disque contient les points à 3 cm de O ou moins : F, G et J.
3. H est à 3,8 cm, plus loin que le rayon : H est à l’extérieur.

16 Construire un triangle isocèle ★★★

1) On trace la base [BC] de 6 cm. 2) Avec le compas écarté de 5 cm, on trace un arc de centre B, puis un arc de centre C. 3) Ces deux arcs se coupent en A. 4) On trace [AB] et [AC], puis on code les deux côtés égaux avec un même petit trait.

17 Construire un triangle quelconque ★★★

Le plus grand côté est EF = 6 cm. On a 4,5 + 3,5 = 8 > 6 : le triangle existe.

On trace [EF] de 6 cm. Arc de centre E et de rayon 4,5 cm ; arc de centre F et de rayon 3,5 cm. Leur intersection est G. On trace [EG] et [FG]. Mesure les côtés pour vérifier : 6 cm, 4,5 cm et 3,5 cm.

18 Triangle rectangle à l’équerre ★★★

On trace [AB] de 6 cm. On place l’équerre : son angle droit en A, un côté le long de [AB]. On trace la demi-droite perpendiculaire à [AB], et on place C à 8 cm de A. On trace [BC].

En mesurant, on trouve BC = 10 cm.

19 Le triangle équilatéral au compas ★★★

a. On trace [AB] de 5 cm. Avec le compas écarté de 5 cm, on trace deux arcs, l’un centré en A, l’autre centré en B. Ils se coupent en C. On trace [AC] et [BC].

b. Les trois angles mesurent chacun 60° (à un ou deux degrés près à cause du dessin).

c. Périmètre = 3 × 5 = 15 cm.

20 Problème : l’horloge de la mairie ★★★

1. 360° ÷ 12 = 30° entre deux graduations voisines.
2. À 2 h : 2 × 30° = 60° ; à 3 h : 3 × 30° = 90° ; à 4 h : 4 × 30° = 120° ; à 6 h : 6 × 30° = 180°.
3. 60° : aigu ; 90° : droit ; 120° : obtus ; 180° : plat.

21 Problème : le grillage du potager ★★★

Périmètre : 18,5 + 18,5 + 12 = 49 m.

Nombre de rouleaux : 49 ÷ 10 = 4,9, donc il faut 5 rouleaux (on ne peut pas acheter une partie de rouleau).

Prix : 5 × 14 = 70 €.

Le grillage coûtera 70 €.

22 Problème : la randonnée entre trois villages ★★★

1. 4,2 + 3,6 + 5 = 12,8. Elle parcourt 12,8 km.
2. Par B : 4,2 + 3,6 = 7,8 km. Direct : 5 km. 7,8 − 5 = 2,8 km de plus.
3. AB + BC = 7,8 km n’est pas égal à AC = 5 km : B n’est pas sur le segment [AC].