Écrire 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 est long, et un produit de vingt facteurs serait presque impossible à lire ! Les puissances sont une écriture courte pour ces produits où le même nombre se répète. Dans ce chapitre, tu apprends à les lire, à les calculer, à les placer correctement dans un calcul, à les utiliser avec des lettres, et à maîtriser les puissances de 10 pour écrire de grands nombres.
- Multiplier, c’est ajouter plusieurs fois le même nombre : 4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3.
- Dans un calcul, on effectue d’abord les parenthèses, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions.
- Multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000 décale sa virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la droite.
- Une aire s’exprime en cm², m²… ; un volume s’exprime en cm³, m³…
1. La notation puissance
Soit a un nombre et n un entier supérieur ou égal à 2. Le produit de n facteurs tous égaux à a se note an :
an = a × a × … × a (n facteurs).
On lit « a exposant n » ou « a puissance n ». Le nombre a est la base et le petit nombre n est l’exposant. Par convention, a1 = a.
- 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 : on lit « trois exposant cinq » ; la base est 3 et l’exposant est 5.
- 0,2 × 0,2 × 0,2 = 0,23.
- 12 × 12 = (12)2.
an n’est pas égal à n × a. Par exemple 43 = 4 × 4 × 4 = 64, alors que 4 × 3 = 12. L’exposant dit combien de fois on écrit la base dans le produit, il ne multiplie pas la base.
2. Les carrés et les cubes
Le carré d’un nombre a est a² = a × a (on lit « a au carré »). Le cube d’un nombre a est a³ = a × a × a (on lit « a au cube »).
Un carré de côté a a pour aire a². Un cube d’arête a a pour volume a³.
Les carrés des entiers de 1 à 12 :
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
Et les cubes les plus courants :
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| n³ | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 1 000 |
Un carré de côté 9 cm a pour aire 9² = 81 cm². Un cube d’arête 3 dm a pour volume 3³ = 27 dm³. Remarque l’unité : on obtient des cm² pour une aire (deux longueurs multipliées) et des dm³ pour un volume (trois longueurs multipliées).
3. Calculer une puissance
- Écris la puissance sous forme de produit de n facteurs égaux à a.
- Calcule de gauche à droite, un facteur après l’autre.
- Vérifie le nombre de facteurs : il doit être égal à l’exposant.
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 4 × 2 × 2 × 2 = 8 × 2 × 2 = 16 × 2 = 32.
0,52 = 0,5 × 0,5 = 0,25.
(23)2 = 23 × 23 = 49.
18 = 1 × 1 × … × 1 = 1 : une puissance de 1 vaut toujours 1.
Pour les grandes puissances, regroupe : 26 = 23 × 23 = 8 × 8 = 64. Et sur une calculatrice, cherche la touche x² (carré) ou la touche d’exposant : tu gagnes du temps, mais il faut savoir faire à la main !
Avec un décimal, le carré peut être plus petit que le nombre : 0,1² = 0,01 et 0,5² = 0,25. Ce n’est pas une erreur : multiplier par un nombre inférieur à 1 diminue le résultat.
4. Les puissances dans un calcul
Dans un calcul, on effectue dans cet ordre : 1) ce qui est entre parenthèses ; 2) les puissances ; 3) les multiplications et les divisions, de gauche à droite ; 4) les additions et les soustractions, de gauche à droite.
A = 4 + 3 × 23 = 4 + 3 × 8 = 4 + 24 = 28.
B = (4 + 3 × 2)3 = (4 + 6)3 = 103 = 1 000.
C = 52 − 24 = 25 − 16 = 9.
3 × 22 = 3 × 4 = 12, mais (3 × 2)2 = 62 = 36. L’exposant ne porte que sur le nombre juste devant lui, sauf si une parenthèse entoure plusieurs nombres.
5. Valeur d’une expression littérale
Une expression littérale contient des lettres qui représentent des nombres. Pour calculer sa valeur, on remplace chaque lettre par le nombre donné, puis on respecte les priorités.
- Réécris l’expression en remplaçant la lettre par sa valeur, entre parenthèses si besoin.
- Rétablis les signes × qui étaient cachés : 3x² signifie 3 × x².
- Calcule les puissances, puis les produits, puis les sommes.
Calculer E = 2x³ − 5 pour x = 3, puis pour x = 4.
Pour x = 3 : E = 2 × 3³ − 5 = 2 × 27 − 5 = 54 − 5 = 49.
Pour x = 4 : E = 2 × 4³ − 5 = 2 × 64 − 5 = 128 − 5 = 123.
Pour x = 2 : 3x² = 3 × 2² = 3 × 4 = 12, alors que (3x)² = (3 × 2)² = 6² = 36. Les deux expressions ne sont pas égales !
| x | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| x² | 1 | 4 | 9 |
| 3x² | 3 | 12 | 27 |
| (3x)² | 9 | 36 | 81 |
6. Les puissances de 10
Une puissance de 10 est un nombre de la forme 10n : c’est 1 suivi de n zéros.
| Puissance de 10 | Produit | Écriture décimale | Nombre de zéros |
|---|---|---|---|
| 101 | 10 | 10 | 1 |
| 102 | 10 × 10 | 100 | 2 |
| 103 | 10 × 10 × 10 | 1 000 | 3 |
| 104 | 10 × 10 × 10 × 10 | 10 000 | 4 |
| 106 | 10 × … × 10 (6 facteurs) | 1 000 000 | 6 |
- 10n s’écrit avec le chiffre 1 suivi de n zéros.
- Multiplier un nombre par 10n décale sa virgule de n rangs vers la droite (on complète avec des zéros si besoin).
3,7 × 102 = 3,7 × 100 = 370.
0,046 × 104 = 460.
25 × 103 = 25 000.
7 000 000 = 7 × 106 (7 suivi de six zéros).
On écrit chaque chiffre multiplié par la puissance de 10 correspondant à son rang :
4 306 = 4 × 103 + 3 × 102 + 0 × 10 + 6.
Inversement : 5 × 104 + 2 × 102 + 9 = 50 000 + 200 + 9 = 50 209.
7. Résoudre des problèmes avec des puissances
Les puissances apparaissent dès qu’une quantité se répète en se multipliant : un nénuphar qui double chaque jour, une rumeur qui se propage, un grand cube formé de petits cubes.
Un élève apprend un secret et le répète à 2 camarades. Chacun d’eux le répète à 2 nouveaux camarades, et ainsi de suite. Combien de nouveaux élèves l’apprennent à la 6e étape ?
À l’étape 1 : 2 élèves ; à l’étape 2 : 2 × 2 = 4 ; à l’étape 3 : 2 × 2 × 2 = 8 ; … à l’étape 6 : 26 = 64 élèves.
Un cube est formé de petits cubes identiques, avec 3 petits cubes sur chaque arête. Il faut 3 × 3 × 3 = 3³ = 27 petits cubes.
À retenir
- an est le produit de n facteurs égaux à a ; a est la base, n l’exposant ; a1 = a.
- an ≠ n × a : 24 = 16, pas 8.
- a² est le carré de a (aire d’un carré) ; a³ est le cube de a (volume d’un cube).
- Les carrés de 1 à 12 et les cubes 1, 8, 27, 64, 125, 1 000 se connaissent par cœur.
- Priorités : parenthèses, puis puissances, puis × et ÷, puis + et −.
- 3x² = 3 × x × x, alors que (3x)² = 3x × 3x.
- 10n = 1 suivi de n zéros ; multiplier par 10n décale la virgule de n rangs vers la droite.