Corrigé des exercices de maths 4ème : Nombres relatifs

1 Signe et distance à zéro ★★★

• +7 : positif, distance à zéro 7.
• −12 : négatif, distance à zéro 12.
• 0 : ni positif ni négatif (c’est 0), distance à zéro 0.
• −0,4 : négatif, distance à zéro 0,4.
• +3,5 : positif, distance à zéro 3,5.
• −100 : négatif, distance à zéro 100.

2 Trouver des opposés ★★★

• L’opposé de 8 est −8.
• L’opposé de −15 est 15.
• L’opposé de 0 est 0.
• L’opposé de −2,6 est 2,6.
• L’opposé de 0,09 est −0,09.
• L’opposé de −0,5 est 0,5.

Le nombre 0 est son propre opposé.

3 Lire des abscisses ★★★

La graduation est de 0,5 en 0,5. A(−4) ; B(−2,5) ; C(0) ; D(1,5) ; E(3,5).

4 Placer des points ★★★

On place chaque point à partir de l’origine : à gauche pour un nombre négatif, à droite pour un positif. H est au milieu de −2 et −1, I au milieu de 3 et 4.

5 Ranger des températures ★★★

On range les températures dans l’ordre croissant. Les négatives d’abord : −15 < −8 < −3,5 (le plus loin de 0 est le plus petit), puis 0 < 3.

Tromsø (−15 °C) < Briançon (−8 °C) < Chamonix (−3,5 °C) < Lyon (0 °C) < Nice (3 °C).

6 Comparer ★★★

1. −7 < −3
2. 4 > −9
3. −2,8 < −2,08
4. −6,1 > −6,4
5. 0 > −0,3
6. 5,2 > 5,02

7 Additions de nombres relatifs ★★★

1. (−6) + (−9) = −(6 + 9) = −15
2. (+8) + (−3) = +(8 − 3) = 5
3. (−4) + (+10) = +(10 − 4) = 6
4. (+7) + (−7) = +(7 − 7) = 0
5. (−2,5) + (+1) = −(2,5 − 1) = −1,5
6. (−12) + (+5,5) = −(12 − 5,5) = −6,5

8 Soustractions de nombres relatifs ★★★

1. (+4) − (+9) = (+4) + (−9) = −5
2. (−6) − (−2) = (−6) + (+2) = −4
3. (−3) − (+5) = (−3) + (−5) = −8
4. (+8) − (−1) = (+8) + (+1) = 9
5. (−2,5) − (+4) = (−2,5) + (−4) = −6,5
6. (0) − (−7) = (0) + (+7) = 7

9 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : une distance est une longueur, elle ne peut pas être négative.
2. Faux : deux négatifs se rangent dans l’ordre inverse de leurs distances à zéro ; 5 > 3 donc −5 < −3.
3. Vrai : l’opposé d’un nombre négatif a la même distance à zéro mais le signe contraire, donc il est positif (par exemple l’opposé de −8 est 8).
4. Faux : on additionne les distances et on garde le signe commun « − » ; par exemple (−2) + (−3) = −5.
5. Faux : deux nombres de même signe ont un produit positif ; par exemple (−2) × (−3) = +6.

10 Le bilan de Maya ★★★

1. 0 + (+12) = 12 ; 12 + (−7) = 5 ; 5 + (−9) = −4 ; −4 + (+4) = 0 ; 0 + (−6) = −6.

2. Le bilan final est −6 jetons : Maya a perdu 6 jetons au total.

11 Simplifier puis calculer ★★★

A = (+7) + (−12) + (+5) + (−3) = 7 − 12 + 5 − 3 = (7 + 5) − (12 + 3) = 12 − 15 = −3.

B = (−4,5) + (−2,5) + (−1) + (+10) = −4,5 − 2,5 − 1 + 10 = 10 − (4,5 + 2,5 + 1) = 10 − 8 = 2.

12 Le plongeur ★★★

Monter, c’est ajouter ; descendre, c’est soustraire (ajouter un nombre négatif).

−18 + 7 = −11 ; −11 + (−12) = −23 ; −23 + 9 = −14.

Le plongeur est à −14 m, soit 14 m sous la surface.

13 Multiplications ★★★

1. (−6) × (−7) = +(6 × 7) = 42
2. (−9) × (+5) = −(9 × 5) = −45
3. (−0,4) × (−30) = +(0,4 × 30) = 12
4. (+12) × (−0,5) = −(12 × 0,5) = −6
5. (−8) × (0) = 0, car un produit dont un facteur est nul est nul
6. (−1,5) × (+4) = −(1,5 × 4) = −6

14 Signe d’un produit ★★★

P a 3 facteurs négatifs (nombre impair) donc P est négatif : P = −(3 × 5 × 2 × 7) = −210.

Q a 4 facteurs négatifs (nombre pair) donc Q est positif : Q = 1 × 4 × 2 × 9 = 72.

R a 5 facteurs négatifs (impair) donc R est négatif : R = −(8 × 3 × 2 × 1 × 5 × 4) = −960.

15 Divisions ★★★

1. (+84) ÷ (−12) = −(84 ÷ 12) = −7
2. (−63) ÷ (−9) = +(63 ÷ 9) = 7
3. (−2,4) ÷ (+6) = −(2,4 ÷ 6) = −0,4
4. (+7,5) ÷ (−2,5) = −(7,5 ÷ 2,5) = −3
5. (−1) ÷ (−4) = +(1 ÷ 4) = 0,25
6. (0) ÷ (−7) = 0, car 0 divisé par un nombre non nul vaut 0

16 Priorités opératoires ★★★

A = 5 − (−12) = 5 + 12 = 17.

B = 5 × (−3) = −15.

C = 6 + (−8) = 6 − 8 = −2.

D = 7 − (+10) = 7 − 10 = −3. (Le produit (−2) × (−5) est positif.)

17 Variations de température ★★★

1. Variation = température finale − température initiale = 11 − (−6) = 11 + 6 = 17 °C d’augmentation.
2. Variation = −13 − 11 = −24, soit une baisse de 24 °C.
3. Écart = 11 − (−13) = 11 + 13 = 24 °C.

18 Nombres manquants ★★★

1. 3 − (−5) = 3 + 5 = 8. Vérification : −5 + 8 = 3.
2. −2 − (−7) = −2 + 7 = 5. Vérification : 5 + (−7) = −2.
3. −4 − 2 = −6 : le nombre cherché est −6, car (−4) − (−6) = −4 + 6 = 2.
4. 18 ÷ (−3) = −6. Vérification : (−6) × (−3) = 18.
5. (−5) × (−2) = 10. Vérification : 10 ÷ (−2) = −5.

19 Programme de calcul ★★★

1. Départ 4 : 4 × (−3) = −12 ; −12 + 7 = −5 ; −5 × (−2) = 10.
   Départ −3 : (−3) × (−3) = 9 ; 9 + 7 = 16 ; 16 × (−2) = −32.
   Départ 0 : 0 ; 0 + 7 = 7 ; 7 × (−2) = −14.
2. On remonte le programme à l’envers. Résultat final : −2. Avant la multiplication par −2 : (−2) ÷ (−2) = 1. Avant l’ajout de 7 : 1 − 7 = −6. Avant la multiplication par −3 : (−6) ÷ (−3) = 2. On part de 2. Vérification : 2 × (−3) = −6 ; −6 + 7 = 1 ; 1 × (−2) = −2.

20 L’ascenseur du parking ★★★

1. 5 − 9 = −4 ; −4 + 4 = 0 ; 0 − 3 = −3. Il arrive au niveau −3.
2. Déplacement = (−9) + 4 + (−3) = −8, soit 8 niveaux vers le bas. Vérification : 5 + (−8) = −3.

21 Température moyenne ★★★

Somme : (−4) + (−7) + 2 + (−1) + 0 = −4 − 7 + 2 − 1 = −10.

Moyenne : (−10) ÷ 5 = −2.

La température moyenne est de −2 °C.

22 Le compte en banque ★★★

Solde : −45 + (−32,5) = −77,5 ; −77,5 + 120 = 42,5 ; 42,5 + (−18,75) = 23,75.

Le nouveau solde est de +23,75 € : le compte n’est plus à découvert.

23 Repérer les erreurs ★★★

1. Les deux nombres sont négatifs : on garde le signe « − » et on additionne les distances à zéro. (−4) + (−6) = −10.
2. Deux nombres de même signe ont un produit positif. (−5) × (−3) = +15.
3. Soustraire −2 revient à ajouter son opposé +2. 8 − (−2) = 8 + 2 = 10.

24 Produits d’entiers consécutifs ★★★

1. Il y a 5 facteurs négatifs (impair), donc A est négatif. A = −(5 × 4 × 3 × 2 × 1) = −120.
2. Parmi les entiers de −6 à 3, il y a le facteur 0. Un produit dont un facteur est nul est nul : B = 0.
3. Le produit de −4 à −1 a 4 facteurs négatifs (pair) : il vaut 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Le produit de 1 à 3 vaut 6. C = 24 × 6 = 144.