Nombres relatifs : corrigé des exercices de maths 5ème

1 Positif ou négatif ? ★★★

a. −15 ; b. +30 ; c. −8 ; d. −45 ; e. +1 200. Un gain ou une altitude au-dessus du niveau de la mer sont positifs ; une profondeur, un froid sous zéro, une dépense sont négatifs.

2 Signe et distance à zéro ★★★

a. signe −, distance 7 ; b. signe +, distance 3,5 ; c. signe −, distance 0,4 ; d. signe + (non écrit), distance 12 ; e. 0 n’a pas de signe, sa distance à zéro est 0.

3 Lire des abscisses ★★★

A(−2,4) ; B(−0,7) ; C(0,6) ; D(−3). Pour A, on part de 0 vers la gauche : 2 unités et 4 graduations.

4 Placer des points ★★★

On place d’abord 0, puis on compte les centimètres : E à 4 cm à gauche de 0 ; F à 2 cm à droite ; G à 1,5 cm à gauche (entre −2 et −1) ; H à 3,5 cm à droite.

5 Opposés ★★★

Opposés : 7 ; −5 ; −6 ; 8,1 ; 0 ; −10,2. L’opposé s’obtient en changeant le signe.

6 Comparer deux nombres ★★★

a. −5 < 3 (un négatif est plus petit qu’un positif) ; b. −7 < −2 (7 est plus loin de zéro) ; c. 0 > −4 ; d. −12 > −15 ; e. −0,5 < −0,05 (0,5 est plus loin de zéro que 0,05) ; f. 8 > −8.

7 Ranger dans l’ordre croissant ★★★

Négatifs d’abord, du plus éloigné de zéro au plus proche : −11, −9, −2 ; puis 0 ; puis les positifs : 4, 7. Réponse : −11 < −9 < −2 < 0 < 4 < 7.

8 L’opposé de l’opposé ★★★

a. L’opposé de −6,3 est 6,3 ; l’opposé de 6,3 est −6,3. b. On retrouve le nombre de départ. c. −(−a) = a.

9 Ranger des décimaux ★★★

Positifs : 1,8 > 0,09. Négatifs : −0,9 est le plus proche de zéro, puis −2,05, puis −2,5, puis −2,6. Ordre décroissant : 1,8 > 0,09 > −0,9 > −2,05 > −2,5 > −2,6.

10 Entier qui suit ou qui précède ★★★

a. −4 < −3,4 < −3 ; b. 0 < 0,2 < 1 ; c. −1 < −0,5 < 0 ; d. −13 < −12,9 < −12.

11 Additions de deux relatifs ★★★

1. (−6) + (−9) = −15. Même signe (−) : on additionne les distances à zéro, 6 + 9 = 15, et on garde le signe : −15.
2. (+7) + (−12) = −5. Signes contraires : on soustrait les distances à zéro, 12 − 7 = 5, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro (−12) : −5.
3. (−3,5) + (+8) = 4,5. Signes contraires : on soustrait les distances à zéro, 8 − 3,5 = 4,5, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro (8) : 4,5.
4. (−2,4) + (−1,6) = −4. Même signe (−) : on additionne les distances à zéro, 2,4 + 1,6 = 4, et on garde le signe : −4.
5. (+15) + (−15) = 0. Nombres opposés : la somme vaut 0.
6. (−0,8) + (+0,3) = −0,5. Signes contraires : on soustrait les distances à zéro, 0,8 − 0,3 = 0,5, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro (−0,8) : −0,5.

12 Additions à trou ★★★

a. 5 (opposé de −5) ; b. on cherche −3 − 4 = −7 (vérification : 4 + (−7) = −3) ; c. −10 + 6 = −4 (vérification : −4 + (−6) = −10) ; d. 1 − 2,5 = −1,5 (vérification : −1,5 + 2,5 = 1).

13 Soustractions de deux relatifs ★★★

1. (+3) − (+8) = (+3) + (−8) = −5. Signes contraires : on soustrait les distances à zéro, 8 − 3 = 5, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro (−8) : −5.
2. (−4) − (−9) = (−4) + (+9) = 5. Signes contraires : on soustrait les distances à zéro, 9 − 4 = 5, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro (9) : 5.
3. (−7) − (+5) = (−7) + (−5) = −12. Même signe (−) : on additionne les distances à zéro, 7 + 5 = 12, et on garde le signe : −12.
4. (+6) − (−4) = (+6) + (+4) = 10. Même signe (+) : on additionne les distances à zéro, 6 + 4 = 10, et on garde le signe : 10.
5. (−2,5) − (−2,5) = (−2,5) + (+2,5) = 0. Nombres opposés : la somme vaut 0.
6. (0) − (−3,2) = (0) + (+3,2) = 3,2. Ajouter 0 ne change rien : 3,2.

14 Distance entre deux points ★★★

On soustrait la plus petite abscisse de la plus grande. a. AB = 2 − (−3,5) = 2 + 3,5 = 5,5 ; b. CD = −2 − (−8) = −2 + 8 = 6 ; c. EF = 4,8 − (−1,2) = 4,8 + 1,2 = 6.

15 Sommes de plusieurs termes ★★★

A. A = (+12) + (−11) + (+25) + (−17)

On regroupe les termes positifs et les termes négatifs. Positifs : 12 + 25 = 37. Négatifs : (−11) + (−17) = −28. Total : 37 + (−28) = 9.

B.

On regroupe les termes positifs et les termes négatifs. Positifs : 6,4 = 6,4. Négatifs : (−2,1) + (−9) + (−8,3) = −19,4. Total : 6,4 + (−19,4) = −13.

C.

On regroupe les termes positifs et les termes négatifs. Positifs : 13 + 8 + 59 = 80. Négatifs : (−31) + (−19) + (−17) = −67. Total : 80 + (−67) = 13.

16 Écritures simplifiées ★★★

a. 7 − 12 + 5 − 9

On regroupe les termes positifs et les termes négatifs. Positifs : 7 + 5 = 12. Négatifs : (−12) + (−9) = −21. Total : 12 + (−21) = −9.

b. −3 + 8 + 5 − 2

On regroupe les termes positifs et les termes négatifs. Positifs : 8 + 5 = 13. Négatifs : (−3) + (−2) = −5. Total : 13 + (−5) = 8.

c. −4,5 + 3 − 2,5 + 6 − 1

On regroupe les termes positifs et les termes négatifs. Positifs : 3 + 6 = 9. Négatifs : (−4,5) + (−2,5) + (−1) = −8. Total : 9 + (−8) = 1.

d. 10 − 4 − 8 + 3 − 6

On regroupe les termes positifs et les termes négatifs. Positifs : 10 + 3 = 13. Négatifs : (−4) + (−8) + (−6) = −18. Total : 13 + (−18) = −5.

17 Enchaîner additions et soustractions ★★★

A = (+3,1) + (−3,5) + (−7,8) + (−1,6) = (−0,4) + (−7,8) + (−1,6) = (−8,2) + (−1,6) = −9,8.

B = (−16,1) + (−4,25) + (+7,85) + (−1,66) = (−20,35) + (+7,85) + (−1,66) = (−12,5) + (−1,66) = −14,16.

18 Vrai ou faux ? ★★★

a. Vrai : on additionne des distances et on garde le signe −. b. Faux : 9 + (−2) = 7 est positif ; le signe est celui du nombre le plus éloigné de zéro. c. Vrai : −8 − (−8) = −8 + 8 = 0. d. Vrai : par exemple 2 < 5 et 2 − 5 = −3 ; a − b est la distance orientée de b vers a, négative quand a est à gauche de b. e. Faux : −15 est plus loin de zéro, donc −15 < −1,5.

19 Carré magique ★★★

La somme magique est 0 (la diagonale −2, 0, 2 donne 0). Première ligne : −2 + ? + 1 = 0 donc ? = 1. Deuxième ligne : 3 + 0 + ? = 0 donc ? = −3. Première colonne : −2 + 3 + ? = 0 donc ? = −1. On obtient :

Vérification : chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale a pour somme 0.

20 Problème : le plongeur ★★★

Position : (−18) + (−12) + (+9) + (−4) = (−30) + (+9) + (−4) = (−21) + (−4) = −25. Il est à 25 m de profondeur. Distance parcourue : 12 + 9 + 4 = 25 m (on additionne les trajets sans tenir compte du sens).

21 Problème : le compte en banque ★★★

Solde : (−35) + (+120) + (−49) + (−62,5). Positifs : 120. Négatifs : −35 − 49 − 62,5 = −146,5. Total : 120 + (−146,5) = −26,5. Son solde final est de −26,50 € : il est encore à découvert.

22 Problème : températures ★★★

a. −7,5 < −3 < −0,5 < 2 < 4 : C, A, D, B, E. b. Écart : 4 − (−7,5) = 4 + 7,5 = 11,5 °C. c. A : −3 + 6 = 3 °C ; C : −7,5 + (−2) = −9,5 °C.

23 Programme de calcul ★★★

a. Avec 5 : 5 + (−4) = 1 ; 1 − 7 = −6 ; −6 + (−5) = −11. Avec −3 : −3 + (−4) = −7 ; −7 − 7 = −14 ; −14 + 3 = −11. Avec −2,5 : −2,5 + (−4) = −6,5 ; −6,5 − 7 = −13,5 ; −13,5 + 2,5 = −11. b. On trouve toujours −11 : ajouter le nombre de départ puis son opposé annule son effet, il reste −4 − 7 = −11.