Puissances et écriture scientifique : corrigé des exercices de maths 3ème

1 Calculer des puissances ★★★

1. 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
2. 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 9 × 9 = 81.
3. 5³ = 5 × 5 × 5 = 25 × 5 = 125.
4. 10⁴ = 1 suivi de 4 zéros = 10 000.
5. 7⁰ = 1 (convention : un nombre non nul exposant 0 vaut 1).

2 Bases négatives ★★★

1. (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = 4 × (−2) = −8.
2. (−5)² = (−5) × (−5) = 25.
3. −4² = −(4 × 4) = −16 : l’exposant ne concerne que le 4.
4. (−1)⁷ : exposant impair, base négative, donc le résultat est négatif ; 1 × … × 1 = 1, donc −1.

3 Une seule puissance ★★★

1. On additionne les exposants : 3⁴⁺² = 3⁶.
2. On soustrait : 5⁷⁻³ = 5⁴.
3. On multiplie : 2^3×2 = 2⁶.
4. 7⁻²⁺⁵ = 7³.

4 Exposants négatifs ★★★

1. 10⁻² = 1100 = 0,01.
2. 2⁻³ = 12³ = 18 (= 0,125).
3. 5⁻¹ = 15 (= 0,2).
4. 10⁻⁵ = 0,000 01 (cinq chiffres après la virgule).
5. 4⁻² = 116 = 0,0625.

5 Puissances de 10 et nombres ★★★

1. 1 000 000 a 6 zéros : 10⁶.
2. 0,0001 a 4 chiffres après la virgule : 10⁻⁴.
3. 0,1 = 110 = 10⁻¹.
4. 100 = 10².

10⁸ = 100 000 000 et 10⁻³ = 0,001.

6 Signe d’une puissance ★★★

1. Base négative, exposant pair : positif.
2. C’est l’opposé de 7⁶, qui est positif : négatif.
3. Base négative, exposant −5 impair : négatif.
4. Base négative, exposant −4 pair : positif.
5. Base négative, exposant impair : négatif (c’est −1 000).

7 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. On additionne les exposants : 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128.
2. Faux. On multiplie les exposants : (3²)³ = 3⁶ = 729.
3. Faux. 10⁻² = 1100 = 0,01, qui est positif.
4. Vrai. Tout nombre non nul exposant 0 vaut 1.
5. Faux. 2³ + 2³ = 8 + 8 = 16 = 2⁴, et 2⁶ = 64.

8 Écriture scientifique ou non ? ★★★

1. Oui : 1 ≤ 5,2 < 10.
2. Non : 52 est supérieur à 10 (il en faut un seul chiffre avant la virgule). C’est 5,2 × 10⁴.
3. Non : 0,8 est inférieur à 1. C’est 8 × 10⁴.
4. Oui : 1 ≤ 3 < 10 et l’exposant −2 est un entier relatif.
5. Non : 10 n’est pas strictement inférieur à 10. C’est 10³, soit 1 × 10³.

9 Priorités et puissances ★★★

1. A = 3 + 2 × 25 = 3 + 50 = 53.
2. B = 5 × 5² = 5 × 25 = 125.
3. C = 100 − 8 × 4 = 100 − 32 = 68.
4. D = 6² ÷ 9 = 36 ÷ 9 = 4.
5. E = 2 × 9 − (−8) = 18 + 8 = 26.

10 Simplifier des expressions ★★★

1. A = 2³2⁴ = 2³⁻⁴ = 2⁻¹ = 12.
2. B = 5⁶ × 5⁻⁴ = 5² = 25.
3. C = 12² = 144 (on retrouve 3² × 4² = 9 × 16 = 144).
4. D = (63)⁵ = 2⁵ = 32.

11 Écritures scientifiques ★★★

1. La virgule est décalée de 4 rangs : 4,5 × 10⁴.
2. Décalage de 4 rangs vers la droite : 7,2 × 10⁻⁴.
3. Décalage de 9 rangs : 6,3 × 10⁹.
4. Décalage de 6 rangs vers la droite : 1,5 × 10⁻⁶.
5. Décalage de 2 rangs : 8,124 × 10².

12 Retour à l’écriture décimale ★★★

1. Virgule décalée de 5 rangs vers la droite : 370 000.
2. Virgule décalée de 3 rangs vers la gauche : 0,002 04.
3. 90 000 000.
4. 0,125.

13 Ranger des nombres ★★★

On compare d’abord les exposants : −3 < −2 < 4 < 5. Les deux nombres d’exposant 5 se départagent avec 1,5 < 3,2.

7 × 10⁻³ < 4,1 × 10⁻² < 9,8 × 10⁴ < 1,5 × 10⁵ < 3,2 × 10⁵.

14 Produits et quotients ★★★

1. (3 × 2) × 10⁴⁺⁵ = 6 × 10⁹, déjà en écriture scientifique : 6 × 10⁹.
2. (4 × 5) × 10⁻³⁺⁶ = 20 × 10³ = 2 × 10⁴.
3. 63 × 10⁷⁻⁽⁻²⁾ = 2 × 10⁹ : 2 × 10⁹.
4. 84 × 10²⁻⁵ = 2 × 10⁻³.

15 Unités et préfixes ★★★

1. 3,5 × 10⁹ octets : 3,5 × 10⁹ octets.
2. 250 × 10⁻³ = 0,25 g = 2,5 × 10⁻¹ g.
3. 42 × 10⁻⁶ = 4,2 × 10 × 10⁻⁶ = 4,2 × 10⁻⁵ m.
4. 12 × 10⁻⁹ = 1,2 × 10 × 10⁻⁹ = 1,2 × 10⁻⁸ m.

16 Ordres de grandeur ★★★

1. 49 ≈ 50 et 2 020 ≈ 2 000 : 50 × 2 000 = 100 000 (10⁵). Valeur exacte : 98 980, très proche.
2. 0,0049 ≈ 0,005 et 9 800 ≈ 10 000 : 0,005 × 10 000 = 50. Valeur exacte : 48,02.

17 La lumière du Soleil ★★★

1. Durée = distance ÷ vitesse = 1,5×10¹¹3×10⁸ = 1,53 × 10¹¹⁻⁸ = 0,5 × 10³ = 500 s, soit 5 × 10² s.
2. 500 s = 8 × 60 s + 20 s. La lumière du Soleil met 8 min 20 s pour atteindre la Terre.

18 Stocker des photos ★★★

1. 64 × 10⁹ = 6,4 × 10 × 10⁹ = 6,4 × 10¹⁰ octets.
2. Nombre de photos = 6,4×10¹⁰4×10⁶ = 1,6 × 10¹⁰⁻⁶ = 1,6 × 10⁴, soit 16 000 photos. Phrase réponse : on peut stocker au plus 16 000 photos.

19 Des bactéries alignées ★★★

1. 2 × 10⁻⁶ × 5 × 10⁵ = 10 × 10⁻¹ = 1 m.
2. 32×10⁻⁶ = 1,5 × 10⁶ : il en faut 1,5 × 10⁶, soit un million cinq cent mille. (On retrouve 3 × 5 × 10⁵ = 1,5 × 10⁶.)
3. 5 × 10⁷ × 10⁻¹² = 5 × 10⁻⁵ : la masse totale est 5 × 10⁻⁵ g, soit 0,000 05 g.

20 Les globules rouges ★★★

1. 7 × 10⁻⁶ × 2,5 × 10¹³ = 17,5 × 10⁷ = 1,75 × 10⁸ m.
2. 1 km = 10³ m donc 1,75 × 10⁸ ÷ 10³ = 1,75 × 10⁵ km.
3. 1,75×10⁵4×10⁴ = 0,4375 × 10 = 4,375 ≈ 4,4. La file ferait environ 4,4 fois le tour de la Terre.

21 L’eau sur Terre ★★★

1. 8 × 10⁹ × 1,5 × 10² = 12 × 10¹¹ = 1,2 × 10¹² L par jour.
2. 1,2 × 10¹² ÷ 10³ = 1,2 × 10⁹ m³.

22 Décomposer les bases ★★★

1. 4 = 2² donc 4⁵ = 2¹⁰. 8 = 2³ donc 8² = 2⁶. Ainsi 4⁵ × 8² = 2¹⁰ × 2⁶ = 2¹⁶ (= 65 536).
2. 9³ = (3²)³ = 3⁶, donc 3⁶3⁴ = 3² = 9.
3. 25² = (5²)² = 5⁴, donc 25² × 5⁻³ = 5⁴⁻³ = 5.

23 Le Soleil et la Terre ★★★

1. Rapport = 2×10³⁰6×10²⁴ = 26 × 10⁶ = 13 × 10⁶. Comme 13 ≈ 0,333, on obtient ≈ 0,333 × 10⁶ = 3,3 × 10⁵.
2. Un ordre de grandeur est 3 × 10⁵ : le Soleil pèse environ 300 000 fois plus que la Terre.

24 Corriger les erreurs ★★★

1. 45 n’est pas compris entre 1 et 10 : ce n’est pas une écriture scientifique. Correct : 0,000 45 = 4,5 × 10⁻⁴.
2. On ne peut pas additionner les exposants dans une somme. Il faut factoriser : 3 × 10⁴ + 0,2 × 10⁴ = 3,2 × 10⁴, ou 30 000 + 2 000 = 32 000 = 3,2 × 10⁴.
3. Un exposant négatif donne l’inverse, pas l’opposé : 2⁻⁴ = 12⁴ = 116 = 0,0625.