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Corrigé des exercices de maths 4ème : Angles et triangles

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Corrigé des exercices de maths 4ème : Angles et triangles

Corrigé détaillé des exercices du chapitre. Vérifie tes réponses étape par étape et corrige-toi.

1 Le troisième angle ★★★

  1. La somme des angles d’un triangle vaut 180°. ∠C = 180° − (48° + 67°) = 180° − 115° = 65°.
  2. ∠F = 180° − (105° + 22°) = 180° − 127° = 53°.
  3. ∠I = 180° − (90° + 38°) = 180° − 128° = 52°. (Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires : 90° − 38° = 52°.)

2 Triangles isocèles ★★★

a. Dans un triangle isocèle en R, les angles à la base sont égaux : ∠S = ∠T. Leur somme vaut 180° − 40° = 140°, donc ∠S = ∠T = 140° ÷ 2 = 70°.

b. Dans un triangle isocèle en U, ∠W = ∠V = 72°. Alors ∠U = 180° − 72° − 72° = 180° − 144° = 36°.

3 Rectangle ou équilatéral ? ★★★

a. Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires : ∠C = 90° − 35° = 55°.

b. Les trois angles sont égaux et leur somme vaut 180° : 180° ÷ 3 = 60°.

c. Oui. L’angle droit est alors l’angle au sommet (un angle à la base ne peut pas être droit, sinon la somme dépasserait 180°). Les deux angles à la base mesurent (180° − 90°) ÷ 2 = 45° chacun. Les angles sont 90°, 45° et 45°.

4 Vrai ou faux ? ★★★

  1. Faux. 100° + 50° + 40° = 190° ≠ 180°.
  2. Faux. Deux angles obtus mesurent chacun plus de 90°, donc leur somme dépasse 180° : il ne reste aucune place pour le troisième.
  3. Vrai. 60° + 60° + 60° = 180° : c’est un triangle équilatéral.
  4. Faux. 90° + 95° = 185° est déjà plus que 180°.

5 Angles et parallèles ★★★

  1. L’angle correspondant à ∠NAB est ∠QBT. Les droites (d₁) et (d₂) sont parallèles, donc les angles correspondants sont égaux : ∠QBT = 63°.
  2. L’angle alterne-interne à ∠NAB est ∠PBA. Les droites étant parallèles, ∠PBA = 63°.
  3. Les angles ∠NAB et ∠MAB forment un angle plat : ∠MAB = 180° − 63° = 117°. Les angles ∠MAB et ∠ABQ sont alternes-internes, donc ∠ABQ = 117°.

ABMNPQST(d₁)(d₂)(s)αα

6 Triangle constructible ? ★★★

On compare le plus grand côté à la somme des deux autres.

  1. 4 + 5 = 9 et 8 < 9 : constructible.
  2. 3 + 4 = 7 et 8 > 7 : non constructible.
  3. 6 + 6 = 12 et 12 = 12 : les trois points seraient alignés, le triangle est aplati. Non constructible (ce n’est pas un vrai triangle).
  4. 5 + 7 = 12 et 11 < 12 : constructible.

7 Médiatrice et distances ★★★

a. Un point de la médiatrice est à égale distance des extrémités du segment : MB = MA = 6,5 cm.

b. Non : NA ≠ NB. Si N était sur la médiatrice, il serait à égale distance de A et de B.

c. Un point à égale distance de A et de B est sur la médiatrice de [AB] (réciproque). P se trouve donc quelque part sur cette droite, perpendiculaire à [AB] en son milieu, à 4 cm de A et de B le long de [AB].

8 Un triangle au compas ★★★

Existence. Le plus grand côté est EF = 7 cm. 5 + 4 = 9 et 7 < 9 : le triangle existe.

  1. Trace le segment [EF] de 7 cm.
  2. Pique le compas en E, ouvre-le de 5 cm et trace un arc de cercle.
  3. Pique en F, ouvre de 4 cm et trace un second arc qui coupe le premier.
  4. Nomme G le point d’intersection et trace [EG] et [FG].

Le triangle EFG a bien les trois côtés demandés.

9 Angles en progression ★★★

La somme des angles vaut 180° : x + 2x + 3x = 180, donc 6x = 180 et x = 30.

∠A = 30°, ∠B = 2 × 30° = 60°, ∠C = 3 × 30° = 90°.

Vérification : 30 + 60 + 90 = 180. Le triangle a un angle droit : il est rectangle en C.

10 Un angle de plus que l’autre ★★★

Posons ∠A = x. Alors ∠B = x + 20° et ∠C = 2x.

La somme vaut 180° : x + (x + 20) + 2x = 180, donc 4x + 20 = 180, 4x = 160 et x = 40.

∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°. Vérification : 40 + 60 + 80 = 180.

11 Une droite parallèle à la base ★★★

• (xy) // (BC) et (AB) est sécante : ∠xAB et ∠ABC sont alternes-internes, donc égaux : ∠ABC = 52°.

• (xy) // (BC) et (AC) est sécante : ∠yAC et ∠ACB sont alternes-internes : ∠ACB = 71°.

• La somme des angles du triangle ABC vaut 180° : ∠BAC = 180° − 52° − 71° = 180° − 123° = 57°.

Contrôle : ∠xAB + ∠BAC + ∠CAy = 52° + 57° + 71° = 180° (angle plat).

12 Les droites sont-elles parallèles ? ★★★

  1. ∠NAB et ∠PBA sont alternes-internes par rapport aux droites (d₁), (d₂) et à la sécante (s), et ils sont égaux (112°). D’après la réciproque de la propriété sur les angles alternes-internes, (d₁) // (d₂).
  2. ∠NAB et ∠QBT sont correspondants. Si (d₁) et (d₂) étaient parallèles, ces angles seraient égaux. Or 75° ≠ 76° : les droites ne sont pas parallèles.

13 Angle extérieur ★★★

a. ∠ACB = 180° − 50° − 45° = 180° − 95° = 85°.

b. B, C et D sont alignés avec C entre B et D, donc ∠ACB et ∠ACD sont supplémentaires : ∠ACD = 180° − 85° = 95°.

c. ∠A + ∠B = 50° + 45° = 95° = ∠ACD. ✓

14 Triangle isocèle et parallèle ★★★

  1. ABC est isocèle en A : ∠ACB = ∠ABC = 65°. Donc ∠BAC = 180° − 2 × 65° = 180° − 130° = 50°.
  2. (d) // (BC) et (AB) est sécante : l’angle aigu entre (d) et (AB) est alterne-interne avec ∠ABC. Il mesure donc 65°.

15 Inégalité et valeurs possibles ★★★

Inégalité triangulaire :

  • AB ≤ AC + BC donc AC ≥ 8 − 3 = 5, et pour un vrai triangle AC > 5 ;
  • AC < AB + BC = 8 + 3 = 11.

Donc 5 < AC < 11. Valeurs entières : 6, 7, 8, 9 et 10 cm (5 valeurs possibles).

16 Le détour ★★★

  1. • 20 km : AB + BC = 17 km, et 20 > 17, impossible. • 6 km : il faudrait AB ≤ AC + BC = 6 + 5 = 11, or AB = 12 : impossible. • 9 km : 9 < 17 et 12 < 9 + 5 = 14, possible.
  2. 12 − 5 < AC < 12 + 5, soit 7 km < AC < 17 km.

17 Trois points alignés ? ★★★

AB + BC = 4,5 + 3,5 = 8 cm = AC. Il y a égalité dans l’inégalité triangulaire : B est sur le segment [AC], les points A, B, C sont alignés et le triangle ABC est aplati.

18 Périmètre et médiatrice ★★★

D est sur la médiatrice de [AB] : DA = DB.

Périmètre de BCD = DB + DC + BC = DA + DC + BC.

Comme D est sur [AC], DA + DC = AC = 9 cm. Donc le périmètre vaut 9 + 6 = 15 cm.

19 Cercle circonscrit à un triangle rectangle ★★★

  1. Le triangle est rectangle en A : le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse [BC], c’est-à-dire M.
  2. Le rayon vaut la moitié de l’hypoténuse : 10 ÷ 2 = 5 cm.
  3. A est sur le cercle de centre M, donc AM = 5 cm.

20 Bissectrice et angles ★★★

• ∠BAC = 180° − 50° − 70° = 60°.

• (AD) est la bissectrice de ∠BAC : ∠BAD = 60° ÷ 2 = 30°, et ∠DAC = 30°.

• Dans le triangle ADC : ∠ADC = 180° − ∠DAC − ∠C = 180° − 30° − 70° = 80°.

• D est sur [BC], donc ∠ADB et ∠ADC sont supplémentaires : ∠ADB = 180° − 80° = 100°.

Contrôle dans ABD : 50° + 30° + 100° = 180°. ✓

21 Hauteur et angles ★★★

• ∠BAC = 180° − 58° − 64° = 58°.

• (AH) est perpendiculaire à (BC), donc le triangle ABH est rectangle en H : ses angles aigus sont complémentaires, ∠BAH = 90° − 58° = 32°.

• De même, ACH est rectangle en H : ∠HAC = 90° − 64° = 26°.

• 32° + 26° = 58° = ∠BAC. ✓ (H est bien entre B et C car les angles ∠B et ∠C sont aigus.)

22 Démontrer un parallélisme ★★★

  1. Les angles ∠AEF et ∠ABC sont correspondants pour les droites (EF) et (BC) coupées par la sécante (AB). Ils sont égaux (72°). D’après la réciproque, (EF) // (BC).
  2. Dans ABC : ∠ACB = 180° − 50° − 72° = 58°. Les droites (EF) et (BC) sont parallèles et (AC) est sécante : ∠AFE et ∠ACB sont correspondants, donc ∠AFE = 58°. Contrôle dans AEF : 50° + 72° + 58° = 180°. ✓

23 Isocèle, médiatrice et symétrie ★★★

  1. AB = AC, donc A est à égale distance de B et de C : il est sur la médiatrice de [BC]. I est le milieu de [BC] donc aussi sur cette médiatrice. La droite (AI) passe par deux points de la médiatrice : (AI) est la médiatrice de [BC]. Elle est donc perpendiculaire à (BC).
  2. ∠ABC = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°.
  3. (AI) ⊥ (BC) donc ∠AIB = 90°. Dans le triangle ABI, ∠BAI = 180° − 90° − 70° = 20°, soit la moitié de ∠BAC : la droite (AI) est aussi la bissectrice de l’angle en A.

24 Le lampadaire ★★★

  1. Il faut un point à égale distance de A, B et C : le centre du cercle circonscrit. Le triangle étant rectangle en A, c’est le milieu de l’hypoténuse [BC].
  2. Il sera à 26 ÷ 2 = 13 m de chaque puits.
  3. Le centre du cercle circonscrit à un triangle est à l’intersection des médiatrices ; dans un triangle rectangle, c’est le milieu de l’hypoténuse.

25 Somme des angles d’un quadrilatère ★★★

  1. La diagonale [AC] partage le quadrilatère en deux triangles. Les angles de ABCD se répartissent exactement entre ces deux triangles (en A et en C, l’angle est coupé en deux par la diagonale). La somme vaut donc 180° + 180° = 360°.
  2. ∠D = 360° − (85° + 100° + 70°) = 360° − 255° = 105°.

26 Cercle circonscrit et angles ★★★

  1. ABC est rectangle en B : M, milieu de l’hypoténuse, est le centre du cercle circonscrit. Donc MA = MB = MC.
  2. Le triangle MAB est isocèle en M : ∠MBA = ∠MAB = ∠BAC = 35° (M est sur [AC]). Alors ∠BMA = 180° − 35° − 35° = 110°.
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