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Corrigé des exercices de maths 3ème : Repérage et espace

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Corrigé des exercices de maths 3ème : Repérage et espace

Corrigé détaillé des exercices du chapitre. Vérifie tes réponses étape par étape et corrige-toi.

1 Lire des coordonnées ★★★

On lit l’abscisse sur l’axe horizontal puis l’ordonnée sur l’axe vertical :

A(2 ; 3), B(−3 ; 1), C(−2 ; −3), D(4 ; −2), E(−4 ; 0), F(0 ; −1).

E est sur l’axe des abscisses (ordonnée 0) et F sur l’axe des ordonnées (abscisse 0).

2 Placer des points ★★★

On part de l’origine : E à 4 vers la gauche puis 2 vers le haut ; F à 3 vers le bas ; G à 3 vers la droite et 1 vers le haut ; H à 2 vers la gauche et 3 vers le bas.

-5-4-3-2-112345-4-3-2-11234OEFGH

E : en haut à gauche. F : sur l’axe des ordonnées, en bas. G : en haut à droite. H : en bas à gauche.

3 Distances et milieu sur un axe ★★★

AB = 5 − (−7) = 5 + 7 = 12. AC = −2,5 − (−7) = 4,5, donc AC = 4,5. BC = 5 − (−2,5) = 7,5, donc BC = 7,5.

Milieu de [AB] : (−7 + 5) ÷ 2 = −2 ÷ 2 = −1. Vérification : −1 est à 6 de −7 et à 6 de 5.

4 Vrai ou faux ? ★★★

  1. Vrai : abscisse négative (à gauche) et ordonnée positive (en haut).
  2. Vrai : tous les points de l’axe vertical ont une abscisse nulle.
  3. Faux : l’ordre compte ; le premier est à droite et en bas, le second à gauche et en haut.
  4. Faux : son ordonnée est 0, il est sur l’axe des abscisses.
  5. Vrai : on va à gauche et en bas.

5 Milieux ★★★

  1. ((−2 + 6) ÷ 2 ; (5 + (−1)) ÷ 2) = (4 ÷ 2 ; 4 ÷ 2) = (2 ; 2).
  2. ((−3 + 5) ÷ 2 ; (−4 + 2) ÷ 2) = (1 ; −1), soit (1 ; −1).
  3. ((0,5 + 2,5) ÷ 2 ; (3 + (−1)) ÷ 2) = (3 ÷ 2 ; 2 ÷ 2) = (1,5 ; 1).

6 Latitude et longitude ★★★

  1. Le Cap : hémisphère Sud, Est. Lima : Sud, Ouest. Tokyo : Nord, Est. Chicago : Nord, Ouest.
  2. La plus proche de l’équateur est Lima (12° de latitude, c’est la plus petite). La plus à l’est est Tokyo (140° Est).
  3. La latitude de l’équateur est 0°, la longitude du méridien de Greenwich est 0°.

7 Échelle d’une carte ★★★

  1. 4,2 × 50 000 = 210 000 cm = 2 100 m = 2,1 km.
  2. 3 km = 300 000 cm ; 300 000 ÷ 50 000 = 6 cm.
  3. 8,5 km = 850 000 cm ; 850 000 ÷ 50 000 = 17 cm.

8 Calculer des distances ★★★

  1. AB² = (5 − 1)² + (5 − 2)² = 16 + 9 = 25, donc AB = 5.
  2. AB² = (4 − (−2))² + (−3 − 1)² = 36 + 16 = 52, donc AB = √52 ≈ 7,2.
  3. AB² = (2 − (−3))² + (11 − (−1))² = 25 + 144 = 169, donc AB = 13.

9 Un triangle isocèle ? ★★★

  1. AB² = (−3 − 0)² + (−1 − 4)² = 9 + 25 = 34 ; AC² = (3 − 0)² + (−1 − 4)² = 9 + 25 = 34 ; BC = 3 − (−3) = 6 (même ordonnée).
  2. AB² = AC², donc AB = AC = √34 : le triangle est isocèle en A. Il n’est pas rectangle : 34 + 34 = 68 ≠ 36.
  3. Périmètre = 2√34 + 6 ≈ 2 × 5,83 + 6 ≈ 17,7 unités. Aire = base × hauteur ÷ 2 = 6 × 5 ÷ 2 = 15 unités d’aire (la hauteur issue de A va de l’ordonnée 4 à l’ordonnée −1, soit 5).

10 Un parallélogramme ★★★

  1. Milieu de [AC] : ((−2 + 4) ÷ 2 ; (1 + (−2)) ÷ 2) = (1 ; −0,5). Milieu de [BD] : ((3 + (−1)) ÷ 2 ; (2 + (−3)) ÷ 2) = (1 ; −0,5).
  2. Les diagonales ont le même milieu : ABCD est un parallélogramme.
  3. AC² = 6² + (−3)² = 36 + 9 = 45 ; BD² = (−4)² + (−5)² = 16 + 25 = 41. Les diagonales n’ont pas la même longueur, donc ABCD n’est pas un rectangle.

11 Trouver un symétrique ★★★

M est le milieu de [AB] : xB = 2 × (−1) − 2 = −4 et yB = 2 × 4 − (−3) = 8 + 3 = 11. Donc B(−4 ; 11).

Vérification : le milieu de [AB] est ((2 + (−4)) ÷ 2 ; (−3 + 11) ÷ 2) = (−1 ; 4) = M. ✔

12 Sections d’un pavé ★★★

  1. La section est un rectangle de 8 cm sur 5 cm (même dimensions que la base). Aire : 8 × 5 = 40 cm².
  2. C’est un rectangle de 5 cm sur 6 cm, d’aire 5 × 6 = 30 cm².
  3. La section est encore un rectangle ; l’un de ses côtés mesure 8 cm (il est parallèle à l’arête).

13 Section d’un cône ★★★

  1. k = 4 ÷ 12 = 13.
  2. Rayon = 5 × 13 = 53 ≈ 1,7 cm. Aire = π × (53)² = 25π9 ≈ 8,7 cm².
  3. Grand cône : 13 × π × 5² × 12 = 100π cm³ (≈ 314,2). Petit cône : 100π × k³ = 100π ÷ 27 ≈ 11,6 cm³.

14 Section d’une boule ★★★

  1. La section est un disque.
  2. Dans le triangle rectangle OHM : r² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc r = 12 cm. Aire = π × 12² = 144π ≈ 452,4 cm².
  3. Rayon 13 cm (grand cercle) ; aire = 169π ≈ 530,9 cm².

15 Longueur d’un parallèle ★★★

Équateur : 2π × 6 370 ≈ 40 024 km.

Parallèle de latitude 60° : son rayon vaut 6 370 × cos 60° = 6 370 × 0,5 = 3 185 km. Sa longueur est 2π × 3 185 ≈ 20 012 km.

Remarque : le parallèle à 60° N est environ deux fois plus court que l’équateur (puisque cos 60° = 0,5).

16 Pyramide coupée ★★★

  1. k = 4 ÷ 10 = 0,4.
  2. La section est un carré de côté 6 × 0,4 = 2,4 cm ; aire = 2,4² = 5,76 cm² (ou 36 × 0,4² = 5,76).
  3. Grande pyramide : 13 × 36 × 10 = 120 cm³. Petite pyramide : 120 × 0,4³ = 120 × 0,064 = 7,68 cm³.

17 Une maquette à l’échelle ★★★

  1. 3,2 m = 320 cm ; 320 ÷ 20 = 16 cm.
  2. Le volume est multiplié par 20³ = 8 000 : 0,5 × 8 000 = 4 000 L.
  3. L’aire est multipliée par 20² = 400 : 150 × 400 = 60 000 cm² = 6 m².

18 Triangle rectangle ? ★★★

KL² = (−1 + 5)² + (−1 − 2)² = 16 + 9 = 25. LM² = (2 + 1)² + (3 + 1)² = 9 + 16 = 25. KM² = (2 + 5)² + (3 − 2)² = 49 + 1 = 50.

KL² = LM², donc KL = LM = 5 : le triangle est isocèle en L. De plus KL² + LM² = 25 + 25 = 50 = KM² : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, il est rectangle en L.

Aire = KL × LM ÷ 2 = 5 × 5 ÷ 2 = 12,5 unités d’aire.

19 Points sur un cercle ★★★

Un point M est sur le cercle si ΩM = 5, donc ΩM² = 25.

ΩA² = 3² + 4² = 25 : A est sur le cercle. ΩB² = (−4)² + 3² = 25 : B est sur le cercle. ΩD² = 5² + 2² = 29 ≠ 25 : D n’est pas sur le cercle. ΩE² = (−3)² + (−4)² = 25 : E est sur le cercle.

Le milieu de [AE] est ((4 + (−2)) ÷ 2 ; (3 + (−5)) ÷ 2) = (1 ; −1) = Ω. Comme A et E sont sur le cercle et que Ω est le milieu de [AE], [AE] est un diamètre (AE = 10).

20 Un rectangle sans le tracer ★★★

Milieu de [AC] : (1 ; 0,5). Milieu de [BD] : (1 ; 0,5). Les diagonales ont le même milieu : ABCD est un parallélogramme.

AC² = 8² + 1² = 65 et BD² = 4² + (−7)² = 16 + 49 = 65. Les diagonales ont la même longueur : le parallélogramme est un rectangle.

AB² = 2² + 4² = 20 et BC² = 6² + (−3)² = 45. Deux côtés consécutifs sont différents : ce n’est pas un carré.

21 Tronc de pyramide ★★★

  1. Distance au sommet : 12 − 9 = 3 cm. k = 3 ÷ 12 = 14.
  2. Côté : 8 × 14 = 2 cm ; aire = 4 cm².
  3. Grande pyramide : 13 × 64 × 12 = 256 cm³. Petite : 256 × (14)³ = 256 ÷ 64 = 4 cm³ (contrôle : 13 × 4 × 3 = 4). Tronc : 256 − 4 = 252 cm³.

22 Distances sur le globe ★★★

  1. P et Q ont la même longitude (2° E) : elles sont sur le même méridien, de part et d’autre de l’équateur.
  2. L’angle entre elles vaut 49° + 33° = 82°. Longueur = 82360 × 2π × 6 370 ≈ 9 117 km.
  3. Rayon du parallèle : 6 370 × cos 45° ≈ 4 504 km. Longueur : 2π × 4 504 ≈ 28 301 km.

23 Agrandir une boule ★★★

  1. k = 7,5 ÷ 3 = 2,5.
  2. Petite aire : 4π × 3² = 36π. Grande aire : 36π × 2,5² = 36π × 6,25 = 225π ≈ 706,9 cm².
  3. Petit volume : 43 × π × 27 = 36π. Grand volume : 36π × 2,5³ = 36π × 15,625 = 562,5π ≈ 1 767,1 cm³.

24 Surfaces sur une carte ★★★

  1. 1 cm sur la carte = 250 m. 1 cm² = 250 × 250 = 62 500 m² = 6,25 ha.
  2. 12 × 6,25 = 75 ha.
  3. 20 ÷ 6,25 = 3,2 cm².
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